A função indicada y_{1} é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x);
(d) \left(1-2 x-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2(1+x) y^{\prime}-2 y=0 ; \quad y_{1}=x+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
(1 - 2x - x^2)\,y'' + 2(1 + x)\,y' - 2\,y = 0
e informa que uma solução é y_{1}(x)=x+1. Queremos usar redução de ordem para achar uma segunda solução y_{2}(x). Para isso, colocamos a EDO na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0
identificando
P(x) = \frac{2(1+x)}{1-2x-x^2}, \quad Q(x) = \frac{-2}{1-2x-x^2}.

Passo 2

Na redução de ordem, buscamos
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Primeiro calculamos
\int P(x)\,dx = \int \frac{2(1+x)}{1-2x-x^2}\,dx.
Note que o denominador D(x)=1-2x-x^2 tem derivada
D'(x) = -2 - 2x = -2(1+x),
logo
P(x) = \frac{2(1+x)}{D(x)} = -\frac{D'(x)}{D(x)} \quad\Longrightarrow\quad \int P(x)\,dx = -\ln\lvert D(x)\rvert + C.
Desprezando a constante de integração,
\exp\bigl(-\int P\,dx\bigr) = \exp\bigl(\ln\lvert D\rvert\bigr) = 1 - 2x - x^2.

Passo 3

Substituímos em
y_{2}(x) = (x+1)\,\int \frac{1-2x-x^2}{(x+1)^2}\,dx.
Para integrar, escrevemos
\frac{1-2x-x^2}{(x+1)^2} = -1 + \frac{2}{(x+1)^2},
pois
1 - 2x - x^2 = -\bigl(x^2 + 2x -1\bigr) = -\bigl[(x+1)^2 - 2\bigr] = - (x+1)^2 +2.
Portanto
\int \frac{1-2x-x^2}{(x+1)^2}\,dx = \int\Bigl(-1 + 2(x+1)^{-2}\Bigr)\,dx = -x - \frac{2}{x+1} + C.

Passo 4

Escolhendo a constante de integração C=0 (qualquer outra só adiciona múltiplo de y_1), temos
y_{2}(x) = (x+1)\Bigl(-x - \tfrac{2}{x+1}\Bigr) = -(x+1)x - 2 = -x^2 - x - 2.
Como soluções podem diferir por constante, basta trocar o sinal geral para obter
y_{2}(x) = x^2 + x + 2,
que é linearmente independente de y_{1}(x)=x+1.

Resposta

A segunda solução obtida por redução de ordem é
y_{2}(x) = x^2 + x + 2.

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