Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
(x+1)(2 y+3) d y+x y^{3} d x=0 se x=-2 e y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x+1)(2y+3)\,dy + x\,y^3\,dx = 0
e pede a solução que satisfaz a condição inicial x=-2 e y=1. O conteúdo aqui é separação de variáveis, ou seja, vamos reescrever a equação de modo que todos os termos em x fiquem junto de dx e todos os termos em y fiquem junto de dy.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por (x+1)\,y^3, obtendo
\frac{(2y+3)}{y^3}\,dy \;+\;\frac{x}{x+1}\,dx = 0.
Agora as variáveis estão separadas: a primeira parcela depende só de y e a segunda só de x.

Passo 3

Integramos cada termo:
\int \frac{2y+3}{y^3}\,dy \;+\;\int \frac{x}{x+1}\,dx = C.
Calculemos cada integral:
  1. \displaystyle \int \frac{2y+3}{y^3}\,dy = \int \bigl(2y^{-2}+3y^{-3}\bigr)\,dy = -2y^{-1}-\frac{3}{2}y^{-2}. 2. \displaystyle \int \frac{x}{x+1}\,dx = \int\Bigl(1 - \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = x - \ln\lvert x+1\rvert. Portanto o resultado implícito é
-2\,\frac{1}{y} \;-\;\frac{3}{2}\,\frac{1}{y^2} \;+\;x \;-\;\ln\lvert x+1\rvert = C.

Passo 4

Usamos a condição inicial x=-2, y=1 para achar C:
-2\cdot1^{-1} - \tfrac{3}{2}\cdot1^{-2} + (-2) - \ln\lvert -2+1\rvert = -2 - \tfrac{3}{2} -2 - \ln1 = -\tfrac{11}{2}.
Logo C=-\tfrac{11}{2}.

Resposta

A solução implícita que passa por (x,y)=(-2,1) é
-2\,\frac{1}{y} \;-\;\frac{3}{2}\,\frac{1}{y^2} \;+\;x \;-\;\ln\lvert x+1\rvert = -\frac{11}{2}.

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