Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
se
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução que satisfaça a condição
e
.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Identificamos
Para ser exata, precisamos de
Calculando:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora exigimos
Por outro lado,
Logo
Integrando em
:
Passo 5
A função potencial completa é
A solução geral implícita é
isto é
Passo 6
Usamos a condição inicial
,
para achar
:
Então
.