Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
(x+3 y) d x+(3 x-4 y) d y=0 se x=2 e y=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+3y)\,dx + (3x-4y)\,dy = 0
e pede a solução que satisfaça a condição x=2 e y=4.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x + 3y \quad\text{e}\quad N(x,y) = 3x - 4y.
Para ser exata, precisamos de
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial M}{\partial y} = 3, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 3.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y) = x + 3y.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (x + 3y)\,dx = \frac{x^2}{2} + 3xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora exigimos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y) = 3x - 4y.
Por outro lado,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3x + h'(y).
Logo
3x + h'(y) = 3x - 4y \;\Longrightarrow\; h'(y) = -4y.
Integrando em y:
h(y) = \int (-4y)\,dy = -2y^2 + \text{constante}.

Passo 5

A função potencial completa é
\varphi(x,y) = \frac{x^2}{2} + 3xy - 2y^2.
A solução geral implícita é
\varphi(x,y) = C,
isto é
\frac{x^2}{2} + 3xy - 2y^2 = C.

Passo 6

Usamos a condição inicial x=2, y=4 para achar C:
\varphi(2,4) = \frac{2^2}{2} + 3\cdot2\cdot4 - 2\cdot4^2 = \frac{4}{2} + 24 - 32 = 2 + 24 - 32 = -6.
Então C = -6.

Resposta

\boxed{\frac{x^2}{2} + 3xy - 2y^2 = -6.}

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