Encontre a solução dos sistemas lineares a seguir e, verifique se o conjunto solução é subespaço do \mathbb{R}^{3}, justificando sua resposta.
\left\{\begin{array}{c}2 x+3 y+z=0 \\\\ 4 x+y+2 z=0 \\\\ 8 x-7 y+4 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear homogêneo abaixo e pede duas coisas: encontrar a solução e verificar se o conjunto solução é subespaço de \mathbb{R}^{3}\), justificando. \[\begin{cases} 2x+3y+z=0,\\[4pt] 4x+y+2z=0,\\[4pt] 8x-7y+4z=0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É um sistema homogêneo (termos independentes todos iguais a 0\]). - As incógnitas são \(x,y,z.
    - Perguntas: (1) determinar o conjunto de todas as soluções (x,y,z); (2) verificar se esse conjunto é subespaço de \mathbb{R}^3 e justificar.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo): resolver o sistema por eliminação (redução por linhas) montando a matriz aumentada e aplicando operações elementares. Explicando o porquê: num sistema homogêneo, resolver a partir da matriz dos coeficientes permite identificar pivôs, variáveis livres e escrever a solução em forma paramétrica; isso é prático para depois analisar se o conjunto solução é subespaço.
Montamos a matriz aumentada (última coluna é o vetor nulo):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 8 & -7 & 4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Aplicamos operações elementares para eliminar abaixo do primeiro pivô. Vou usar a primeira linha como pivô e eliminar em R2 e R3:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha: \text{R2} \leftarrow \text{R2} - 2\cdot\text{R1}.
  • Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira linha: \text{R3} \leftarrow \text{R3} - 4\cdot\text{R1}.
Faço os cálculos componente a componente:
Para R2: (4,1,2) - 2(2,3,1) = (4-4,\;1-6,\;2-2)=(0,-5,0).
Para R3: (8,-7,4) - 4(2,3,1) = (8-8,\;-7-12,\;4-4)=(0,-19,0).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -19 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretando as equações correspondentes às linhas reduzidas:
  • A segunda linha corresponde a -5y=0.
  • A terceira linha corresponde a -19y=0.
Ambas dão a mesma informação: y=0.
Agora uso a primeira linha para relacionar x e z:
A primeira linha é 2x+3y+z=0. Como y=0, temos
2x+z=0.
Isso implica z=-2x.

Passo 5

Escolho um parâmetro para a variável livre. Aqui x é livre; chamo x=t com t\in\mathbb{R}. Então
y=0,\qquad z=-2t.
Assim a solução geral é
(x,y,z)=(t,0,-2t)=t\,(1,0,-2),\quad t\in\mathbb{R}.
Em forma de conjunto:
S=\{\,t(1,0,-2)\mid t\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{(1,0,-2)\}.

Passo 6

Verificação se S é subespaço de \mathbb{R}^3, com justificativa didática:
Observação rápida e importante: qualquer conjunto solução de um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} é o núcleo (ou espaço nulo) da matriz A. O núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço do espaço de chegada. Portanto, por essa razão teórica S é subespaço. Agora mostro explicitamente com propriedades para ficar bem claro.
Prova direta por propriedades de subespaço:
  1. Vetor zero: tomando t=0 obtemos (0,0,0)\in S. Logo S não é vazio e contém o zero.
  2. Fechamento por adição: sejam u=t_1(1,0,-2) e v=t_2(1,0,-2) em S. Então
u+v=(t_1+t_2)(1,0,-2)\in S,
pois t_1+t_2\in\mathbb{R}.
3. Fechamento por multiplicação escalar: para escalar \alpha\in\mathbb{R} e u=t(1,0,-2)\in S,
\alpha u = (\alpha t)(1,0,-2)\in S.
Como S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, S é um subespaço de \mathbb{R}^3. Além disso, como S=\operatorname{span}\{(1,0,-2)\}, sua dimensão é 1 (uma reta passando pela origem em \mathbb{R}^3).

Resposta

S=\{\,t(1,0,-2)\mid t\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{(1,0,-2)\}.
Sim — S é subespaço de \mathbb{R}^{3} (é o núcleo da matriz dos coeficientes; contém o zero e é fechado para soma e multiplicação escalar).

Exercícios relacionados