Encontre a solução dos sistemas lineares a seguir e, verifique se o conjunto solução é subespaço do \mathbb{R}^{3}, justificando sua resposta. \left\{\begin{array}{l}x+3 z=0 \\\\ 2 x-4 y=0 \\\\ 3 x-2 y-5 z=0\end{array}\right.
Verificar se o conjunto dessas soluções é um subespaço de \mathbb{R}^{3} e justificar a resposta.
Informações dadas (as equações do sistema):
Primeira equação: x+3z=0.
Segunda equação: 2x-4y=0.
Terceira equação: 3x-2y-5z=0.]
Passo 2
Observação importante sobre o tipo de sistema (conceito básico): as três equações têm o lado direito igual a 0. Sistemas assim são chamados de sistemas homogêneos e podem ser escritos na forma matricial
A\mathbf{v}=\mathbf{0},
onde \mathbf{v}=(x,y,z)^{T}. O conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre o núcleo (null space) da matriz A. Agora vamos resolver o sistema passo a passo.
Passo 3
Resolver por substituição (método simples e direto):
Expliquei: passei 4y para o outro lado e dividi por 4.
Passo 5
Substituir as expressões de x e y (em função de z) na terceira equação:
Usando x=-3z e y=\dfrac{x}{2}, primeiro calcule y em termos de z:
y=\frac{x}{2}=\frac{-3z}{2}=-\frac{3}{2}z.
Agora substituir em 3x-2y-5z=0:
3x-2y-5z = 3(-3z) -2\Big(-\frac{3}{2}z\Big) -5z.
Calcule cada termo: 3(-3z)=-9z. Em -2\big(-\tfrac{3}{2}z\big) o -2 e o -\tfrac{3}{2} multiplicam para +3, logo esse termo vale +3z. Então
3x-2y-5z = -9z + 3z -5z.
Passo 6
Somar os coeficientes de z:
-9z + 3z -5z = (-9+3-5)z = -11z.
Assim a terceira equação vira
-11z = 0.
Isso implica imediatamente
z=0.
Passo 7
Encontrando x e y a partir de z=0:
Como x=-3z, temos x=-3\cdot 0=0.
Como y=-\dfrac{3}{2}z, temos y=-\dfrac{3}{2}\cdot 0=0.
Portanto a única solução do sistema é
(x,y,z)=(0,0,0).
Passo 8
Interpretação e conceito de subespaço (passo didático): definição de subespaço de \mathbb{R}^{3}:
Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço se satisfaz três propriedades:
Contém o vetor zero (\mathbf{0}\in S).
É fechado sob soma: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in S então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
É fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\mathbf{u}\in S.
Passo 9
Aplicando a definição ao conjunto solução encontrado:
O conjunto solução é \{(0,0,0)\}, o conjunto que contém apenas o vetor zero.
Verificar as três propriedades:
Contém o zero? Sim, por construção.
Soma fechada? Tome \mathbf{u},\mathbf{v}\in\{(0,0,0)\}. Então \mathbf{u}=\mathbf{v}=(0,0,0) e \mathbf{u}+\mathbf{v}=(0,0,0)\in\{(0,0,0)\}.
Multiplicação escalar fechada? Para qualquer \alpha\in\mathbb{R}, \alpha(0,0,0)=(0,0,0)\in\{(0,0,0)\}.
Logo \{(0,0,0)\} satisfaz as três condições e é subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Passo 10
Observação teórica extra (útil para a prova): o conjunto solução de qualquer sistema linear homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} é sempre o núcleo da matriz A e, por propriedades de espaços vetoriais, o núcleo é sempre um subespaço do espaço ambiente (aqui \mathbb{R}^{3}). No nosso caso o núcleo é trivial (só o vetor zero).
Resposta
\{(0,0,0)\}
Sim. O conjunto solução é o subespaço trivial \{(0,0,0)\} de \mathbb{R}^{3}.