Encontre a solução 
  das equaçōes integrais:
a) 
 
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função 
  que satisfaz a equação integral:
Esse tipo de equação é conhecida como equação integral de Volterra do segundo tipo. Para resolver, vamos precisar usar ferramentas de cálculo integral e transformar a equação em uma forma mais fácil de trabalhar, como uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a 
 . A ideia aqui é transformar a equação integral em uma equação diferencial, que geralmente é mais fácil de resolver.
Derivando o lado direito, temos:
Sabemos que  e que , então simplificando:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral. Isso nos dará uma equação diferencial de segunda ordem.
Derivando o lado direito:
Como 
  e simplificando os sinais:
Passo 4
Observamos que a integral  aparece novamente. Mas, de acordo com a equação original:
Podemos isolar a integral:
Substituindo isso na expressão para 
 :
Então, temos a equação diferencial:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é não homogênea e tem a forma:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da homogênea é:
onde 
  e 
  são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, encontramos uma solução particular 
  para a equação não homogênea. Como o lado direito é 
 , tentamos uma solução polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso resulta em:
Comparando os termos, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos determinar as constantes 
  e 
  usando as condições iniciais. Para isso, voltamos à equação original.
Passo 8
Vamos encontrar 
  e 
 :
Para 
 :
Então:
Agora, para . Assim, para 
 :
Mas também podemos obter 
  a partir da equação 
 . Para 
 :
Então:
Resposta
A solução da equação integral é: