Encontre as soluções reais de \frac{10^{x}+20^{x}}{6^{x}+8^{x}}=5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo exponenciais
\frac{10^x + 20^x}{6^x + 8^x} = 5
em x\in\mathbb{R}. O conteúdo é solução de equações exponenciais e análise de monotonicidade de funções envolvendo somas de potências.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 6^x+8^x e obtemos
10^x + 20^x = 5\bigl(6^x + 8^x\bigr).
Para simplificar, dividimos toda a equação por 2^x, que é sempre positivo, definindo
f(x) \;=\;\frac{10^x+20^x}{6^x+8^x} =\frac{2^x\cdot5^x + 2^{2x}\cdot5^x}{2^x\cdot3^x + 2^{3x}} =\frac{5^x\,(1+2^x)}{3^x + 2^{2x}}.

Passo 3

Testamos x=2:
f(2) = \frac{10^2 + 20^2}{6^2 + 8^2} = \frac{100 + 400}{36 + 64} = \frac{500}{100} = 5,
logo x=2 satisfaz a equação.

Passo 4

Para ver que não há outra solução, note que f(x) é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma forma rápida de ver isso é passar ao logaritmo:
g(x)=\ln f(x) =\ln\bigl(10^x+20^x\bigr)-\ln\bigl(6^x+8^x\bigr),
e mostrar g'(x)>0. De fato,
g'(x) =\frac{10^x\ln10 + 20^x\ln20}{10^x+20^x} -\frac{6^x\ln6 + 8^x\ln8}{6^x+8^x} >0
por uma desigualdade de somas ponderadas de logaritmos (os pesos e as bases estão na mesma ordem). Assim f só pode cruzar o valor 5 uma vez.

Resposta

A única solução real é x = 2.

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