Encontre as soluções reais de
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação envolvendo exponenciais
em
. O conteúdo é solução de equações exponenciais e análise de monotonicidade de funções envolvendo somas de potências.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Para simplificar, dividimos toda a equação por
, que é sempre positivo, definindo
Passo 3
Testamos
:
logo
satisfaz a equação.
Passo 4
Para ver que não há outra solução, note que
é estritamente crescente em
. Uma forma rápida de ver isso é passar ao logaritmo:
e mostrar
. De fato,
por uma desigualdade de somas ponderadas de logaritmos (os pesos e as bases estão na mesma ordem). Assim
só pode cruzar o valor 5 uma vez.
Resposta
A única solução real é
.