Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{3+2^{k}}{3^{k+2}}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita cujo termo geral é \dfrac{3+2^{k}}{3^{k+2}} e pede para encontrar a soma dessa série ou mostrar que ela diverge. As informações relevantes que temos são:
  • A série é \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{3+2^{k}}{3^{k+2}}.
  • O índice k varia de 0 até +\infty.
  • Cada termo da série é \dfrac{3+2^{k}}{3^{k+2}}, que é uma soma no numerador dividida por uma potência de 3.

Passo 2

Vamos separar a soma em duas somas mais simples usando a propriedade distributiva da divisão:
\frac{3+2^{k}}{3^{k+2}}=\frac{3}{3^{k+2}}+\frac{2^{k}}{3^{k+2}}.
Como todos os termos da série são não negativos (cada parcela é positiva), podemos somar termo a termo: isto é,
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3+2^{k}}{3^{k+2}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3}{3^{k+2}}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{3^{k+2}}.
Aqui usei que as somas parciais das séries de termos não negativos podem ser separadas sem problema (os limites das somas parciais somam-se).

Passo 3

Trabalhamos a primeira série:
\frac{3}{3^{k+2}}=\frac{1}{3^{k+1}}.
Logo a primeira soma é
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^{k+1}}.
Isto é uma série geométrica. Breve aula: uma série geométrica é da forma \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}, onde a é o primeiro termo e r é a razão. Ela converge exatamente quando |r|<1, e então sua soma é
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso podemos escrever a série como
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^{k+1}}=\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}.
Aqui a=\dfrac{1}{3} e r=\dfrac{1}{3}, com |r|<1, então converge e
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^{k+1}}=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora a segunda série:
\frac{2^{k}}{3^{k+2}}=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Logo
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{3^{k+2}}=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Isto também é uma série geométrica com a=\dfrac{1}{9} e r=\dfrac{2}{3}. Como |r|=\dfrac{2}{3}<1, ela converge e sua soma é
\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{1-2/3}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{1/3}=\frac{1}{9}\cdot 3=\frac{1}{3}.

Passo 5

Somando as duas partes que calculamos:
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3+2^{k}}{3^{k+2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.
Fazendo a soma de frações com denominador comum 6:
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.
Portanto a série converge e sua soma é \dfrac{5}{6}.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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