Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série infinita cujo termo geral é
e pede para encontrar a soma dessa série ou mostrar que ela diverge. As informações relevantes que temos são:
- A série é
. - O índice
varia de até . - Cada termo da série é
, que é uma soma no numerador dividida por uma potência de .
Passo 2
Vamos separar a soma em duas somas mais simples usando a propriedade distributiva da divisão:
Como todos os termos da série são não negativos (cada parcela é positiva), podemos somar termo a termo: isto é,
Aqui usei que as somas parciais das séries de termos não negativos podem ser separadas sem problema (os limites das somas parciais somam-se).
Passo 3
Trabalhamos a primeira série:
Logo a primeira soma é
Isto é uma série geométrica. Breve aula: uma série geométrica é da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Ela converge exatamente quando
, e então sua soma é
No nosso caso podemos escrever a série como
Aqui
e
, com
, então converge e
Passo 4
Agora a segunda série:
Logo
Isto também é uma série geométrica com
e
. Como
, ela converge e sua soma é
Passo 5
Somando as duas partes que calculamos:
Fazendo a soma de frações com denominador comum
:
Portanto a série converge e sua soma é
.