Calcule a soma das séries: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}.
Informações dadas:
\text{uma série numérica com termos } a_k=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)},\quad k=1,2,3,\dots
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa soma (se existe um valor finito)?
Passo 2
Vamos decompor cada termo em frações simples (partial fractions) para ver se a soma “telescopa” (ou seja, se muitos termos se cancelam quando somamos). Vou explicar o método de decomposição: dado um termo racional com fatores lineares distintos no denominador, procuramos constantes A e B tais que
A ideia é transformar uma fração complicada numa soma de frações mais simples; isso facilita somar uma sequência de diferenças, que pode levar ao telescoping.
Note que ocorre cancelamento em cadeia: \frac{1}{3} aparece positiva e negativa, mesma coisa para \frac{1}{5},\frac{1}{7},\dots,\frac{1}{2n-1}. Restam só as bordas não canceladas:
Isso prova que a série converge e que sua soma é \tfrac{1}{2}. (Como verificação numérica rápida: S_1=\tfrac{1}{3}\approx0{,}333, S_2=0{,}4, S_3\approx0{,}4286, tende para 0{,}5.)