Calcule a soma das séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}.
Informações dadas:
\text{uma série numérica com termos } a_k=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)},\quad k=1,2,3,\dotséé
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa soma (se existe um valor finito)?

Passo 2

Vamos decompor cada termo em frações simples (partial fractions) para ver se a soma “telescopa” (ou seja, se muitos termos se cancelam quando somamos). Vou explicar o método de decomposição: dado um termo racional com fatores lineares distintos no denominador, procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1}.
A ideia é transformar uma fração complicada numa soma de frações mais simples; isso facilita somar uma sequência de diferenças, que pode levar ao telescoping.

Passo 3

Agora determine A\) e \(B\). Igualando numeradores: \[1 = A(2k+1) + B(2k-1).
Organizando em potências de k:
1 = 2k(A+B) + (A-B).
Igualando coeficientes dos termos em k e o termo constante obtemos o sistema
\begin{cases} 2(A+B)=0,\\[4pt] A-B=1. \end{cases}
Da primeira equação vem A+B=0\], logo \(B=-A. Substituindo em A-B=1 temos A-(-A)=2A=1, assim
A=\tfrac{1}{2},\qquad B=-\tfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).]

Passo 4

Forme a soma parcial S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} e substitua a decomposição:
S_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S_n &= \frac{1}{2}\Big(\underbrace{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}_{k=1}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}_{k=2}+\underbrace{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}_{k=3}+\cdots+\underbrace{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}_{k=n}\Big). \end{aligned}
Note que ocorre cancelamento em cadeia: \frac{1}{3} aparece positiva e negativa, mesma coisa para \frac{1}{5},\frac{1}{7},\dots,\frac{1}{2n-1}. Restam só as bordas não canceladas:
S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Observando que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0,
temos
\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}\big(1-0\big)=\frac{1}{2}.
Isso prova que a série converge e que sua soma é \tfrac{1}{2}. (Como verificação numérica rápida: S_1=\tfrac{1}{3}\approx0{,}333, S_2=0{,}4, S_3\approx0{,}4286, tende para 0{,}5.)

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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