Encontre a soma da série.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}\

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3n}}.
O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar a fórmula de soma para séries do tipo
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_0\,r^n = \frac{a_0}{1-r} quando |r|<1.

Passo 2

Precisamos escrever o termo geral no formato a_0\,r^n. Observe que
\frac{(-3)^{n-1}}{2^{3n}} = \frac{1}{-3}\,\frac{(-3)^n}{8^n} = \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(\tfrac{-3}{8}\Bigr)^n.
Logo o primeiro termo é a_0 = -\tfrac{1}{3} e a razão é r = -\tfrac{3}{8}.

Passo 3

Verificamos a convergência da série geométrica:
|r| = \Bigl|\,-\tfrac{3}{8}\Bigr| = \tfrac{3}{8} < 1,
portanto a soma existe e vale
S = \frac{a_0}{1-r}.

Passo 4

Substituindo a_0 = -\tfrac{1}{3} e r = -\tfrac{3}{8} na fórmula, temos
S = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1 - \bigl(-\tfrac{3}{8}\bigr)} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1 + \tfrac{3}{8}} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{11}{8}} = -\frac{8}{33}.

Resposta

-\frac{8}{33}

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