Encontre todas as assíntotas verticais da função f(x)=\tan (x+\pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as assíntotas verticais da função
f(x)=\tan\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo aqui é identificar onde a tangente “explode”, ou seja, onde seu denominador (o cosseno) se anula.

Passo 2

Recordando a definição
\tan(u)=\frac{\sin(u)}{\cos(u)},
vemos que há assíntota vertical sempre que
\cos(u)=0 \quad\text{e}\quad \sin(u)\neq0.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x + \tfrac{\pi}{2}.
Para ter \cos(u)=0 precisamos
u = \tfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
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x + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = k\pi.

Resposta

As assíntotas verticais de f são
x = k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.

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