Considere a função
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x+2 & , & x<0 \\\ x^{2}-2 & , & 0 \leqslant x<2 \\\\ 2 & , & x \geqslant 2 \end{array}\right.
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+2, & x<0,\\\ x^2-2, & 0 \le x<2,\\\\ 2, & x\ge2, \end{cases}
e pede os limites laterais em x=2 e o limite geral. Para isso, vamos usar em cada caso o ramo apropriado da definição de f.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)
olhamos para x<2, em que
f(x)=x^2-2.
Como x^2-2 é contínua, basta substituir x=2:
\lim_{x\to2^-}f(x)=2^2-2=4-2=2.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)
olhamos para x>2, em que
f(x)=2.
Esse ramo é constante, logo
\lim_{x\to2^+}f(x)=2.

Passo 4

Como \lim_{x\to2^-}f(x)=2
e \lim_{x\to2^+}f(x)=2,
o limite de f em x=2 existe e vale
\lim_{x\to2}f(x)=2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to2}f(x)=2.

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