Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
2.
.
2.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem de \ f(x,y,z)=e{x2yz3},(y+zx2) \ e verificar o Teorema de Schwarz (a igualdade das derivadas mistas cruzadas). O conteúdo principal é derivação de funções de várias variáveis, usando a regra do produto e a derivada de uma exponencial.
Passo 2
Primeiro derivamos em primeira ordem. Chamando C=e{x2yz^3} e D=y+zx^2, temos: \
Passo 3
Agora derivamos em segunda ordem mista f_{xy} e f_{yx}. Usando
com
: \
\Expandindo, vê-se que ambas as expressões coincidem, mostrando
.
Passo 4
Em seguida derivamos f_{xz} e f_{zx}. De
e
obtemos: \
\Após expandir e agrupar termos, confirma-se
.
Passo 5
Por fim derivamos f_{yz} e f_{zy}. De
com
e
com
chegamos a: \
\Novamente, a expansão mostra
.
Passo 6
Portanto, todas as derivadas mistas de segunda ordem existem e satisfazem
,
e
, confirmando o Teorema de Schwarz.
Resposta
As derivadas mistas de segunda ordem são dadas por\
f_{xy}=f_{yx}=e{x2yz3}\bigl(2x3yz6D+2x3z4+2xz3D+2xyz^3\bigr),\
f_{xz}=f_{zx}=e{x2yz3}\bigl(6x3y2z5D+8x3yz3+6xyz^2D+2x\bigr),\
f_{yz}=f_{zy}=e{x2yz3}\bigl(3x4yz5D+3x2yz2+3x2z2D+x4z^3\bigr),\
onde D=y+zx^2. E em cada caso f_{ij}=f_{ji}, conforme o Teorema de Schwarz.
f_{xz}=f_{zx}=e{x2yz3}\bigl(6x3y2z5D+8x3yz3+6xyz^2D+2x\bigr),\
f_{yz}=f_{zy}=e{x2yz3}\bigl(3x4yz5D+3x2yz2+3x2z2D+x4z^3\bigr),\
onde D=y+zx^2. E em cada caso f_{ij}=f_{ji}, conforme o Teorema de Schwarz.