Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
2. f(x, y, z)=e^x^2 y z^3(y+z x^2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem de \ f(x,y,z)=e{x2yz3},(y+zx2) \ e verificar o Teorema de Schwarz (a igualdade das derivadas mistas cruzadas). O conteúdo principal é derivação de funções de várias variáveis, usando a regra do produto e a derivada de uma exponencial.

Passo 2

Primeiro derivamos em primeira ordem. Chamando C=e{x2yz^3} e D=y+zx^2, temos: \ fx=Cl(2xyz^3,D+2xzr), fy=Cl(x^2z^3,D+1r), fz=Cl(3x^2yz^2,D+x^2r)

Passo 3

Agora derivamos em segunda ordem mista f_{xy} e f_{yx}. Usando fx=C,E com E=2xyz^3D+2xz: \ fxy=Cl[x^2z^3,E+(2xz^3D+2xyz^3)r], fyx=Cl[2xyz^3(x^2z^3D+1)+(2xz^3D+2x^3z^4)r] \Expandindo, vê-se que ambas as expressões coincidem, mostrando fxy=fyx.

Passo 4

Em seguida derivamos f_{xz} e f_{zx}. De fx=C,E e E=2xyz^3D+2xz obtemos: \ fxz=Cl[3x^2yz^2,E+(6xyz^2D+2x^3yz^3+2x)r], fzx=Cl[2xyz^3(3x^2yz^2D+x^2)+(6xyz^2D+6x^3yz^3+2x)r] \Após expandir e agrupar termos, confirma-se fxz=fzx.

Passo 5

Por fim derivamos f_{yz} e f_{zy}. De fy=C,F com F=x^2z^3D+1 e fz=C,G com G=3x^2yz^2D+x^2 chegamos a: \ fyz=Cl[3x^2yz^2F+(3x^2z^2D+x^4z^3)r], fzy=Cl[x^2z^3(3x^2yz^2D+x^2)+(3x^2z^2D+3x^2yz^2)r] \Novamente, a expansão mostra fyz=fzy.

Passo 6

Portanto, todas as derivadas mistas de segunda ordem existem e satisfazem fxy=fyx, fxz=fzx e fyz=fzy, confirmando o Teorema de Schwarz.

Resposta

As derivadas mistas de segunda ordem são dadas por\
f_{xy}=f_{yx}=e{x2yz3}\bigl(2x3yz6D+2x3z4+2xz3D+2xyz^3\bigr),\
f_{xz}=f_{zx}=e{x2yz3}\bigl(6x3y2z5D+8x3yz3+6xyz^2D+2x\bigr),\
f_{yz}=f_{zy}=e{x2yz3}\bigl(3x4yz5D+3x2yz2+3x2z2D+x4z^3\bigr),\
onde D=y+zx^2. E em cada caso f_{ij}=f_{ji}, conforme o Teorema de Schwarz.

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