Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
  1. f(x, y)=x^3+x y^2-y.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^3 + x y^2 - y e pede para calcular todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem (em pontos admissíveis) e verificar o Teorema de Schwarz. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e a teoria de igualdade das derivadas mistas (Teorema de Schwarz), e vamos precisar usar definições de derivada parcial e propriedades de funções C^2.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Usamos a regra de potência e tratamos y como constante:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^3 + x y^2 - yr)=3x^2 + y^2

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Aqui x é tratado como constante e usamos também a regra de potência:
fy(x,y)=partialpartial yl(x^3 + x y^2 - yr)=2xy - 1

Passo 4

Agora obtemos as segundas derivadas parciais. Primeiro fxx e fxy:
fxx(x,y)=partialpartial x(3x^2 + y^2)=6x,
fxy(x,y)=partialpartial y(3x^2 + y^2)=2y

Passo 5

Depois calculamos fyx e fyy:
fyx(x,y)=partialpartial x(2xy - 1)=2y,
fyy(x,y)=partialpartial y(2xy - 1)=2x

Passo 6

Por fim, comparamos as derivadas mistas de ordem trocada: observamos que fxy(x,y)=2y e fyx(x,y)=2y. Como são iguais em todos os pontos do domínio (que é R^2 e f é polinomial, logo C^infty), o Teorema de Schwarz fica verificado.

Resposta

As derivadas de segunda ordem são:
fxx(x,y)=6x, fxy(x,y)=2y, fyx(x,y)=2y e fyy(x,y)=2x.
Como fxy=fyx, o Teorema de Schwarz está satisfeito.

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