Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
-
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem (em pontos admissíveis) e verificar o Teorema de Schwarz. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e a teoria de igualdade das derivadas mistas (Teorema de Schwarz), e vamos precisar usar definições de derivada parcial e propriedades de funções
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra de potência e tratamos
como constante:
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui
é tratado como constante e usamos também a regra de potência:
Passo 4
Agora obtemos as segundas derivadas parciais. Primeiro
e
:
Passo 5
Depois calculamos
e
:
Passo 6
Por fim, comparamos as derivadas mistas de ordem trocada: observamos que
e
. Como são iguais em todos os pontos do domínio (que é
e
é polinomial, logo
), o Teorema de Schwarz fica verificado.
Resposta
As derivadas de segunda ordem são:
Como
, o Teorema de Schwarz está satisfeito.