Encontre todas as soluções da EDO.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária de terceira ordem
Informações relevantes fornecidas:
- Trata-se de uma EDO linear de ordem
com coeficientes constantes. - O termo do lado direito é a soma de um polinômio
(grau ) e um exponencial . - Queremos a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Passo padrão: procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Reconhecemos o polinômio como uma expansão de
(veja que
). Logo a raiz é
com multiplicidade
.
Para uma raiz real
de multiplicidade
, as soluções linearmente independentes da homogênea são
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a ordem da EDO é
).
Passo 3
Escolher um método para obter uma solução particular da não-homogênea. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), adequado quando o termo à direita é combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos.
Regra útil (ressonância): se um termo do lado direito for da forma
, onde
é polinômio e
é raiz da característica de multiplicidade
, então o ansatz deve ser
vezes um polinômio de mesmo grau que
, multiplicado por
.
Aplicando ao nosso caso:
- Para o termo polinomial
(grau ): como não é raiz da característica (verificar ), não há ressonância. Propomos
com
a determinar.
- Para o termo
: aqui é raiz da característica com multiplicidade . O polinômio multiplicador tem grau (constante ), então devemos multiplicar por . Propomos
com
a determinar.
A solução particular será
.
Passo 4
Determinar
e
para
.
Calcule derivadas:
Aplicando o operador
em
:
Devemos ter
(a parte do lado direito que corresponde ao polinômio). Assim equacionamos coeficientes do polinômio:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 5
Determinar
para
.
Observação útil (atalho): o operador diferencial do lado esquerdo se fatoriza como
onde
denota a derivada
. Uma propriedade prática é: se
, então
Isso facilita muito os cálculos.
No nosso caso
. Calcule
:
Portanto
Queremos que a contribuição desta parte seja
. Assim
Logo
Passo 6
Somar as partes para obter a solução particular total:
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Podemos agrupar os termos em
se quisermos:
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, se houver.