Encontre todas as soluções da EDO.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=x-4 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y = x - 4e^{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Trata-se de uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é a soma de um polinômio x (grau 1) e um exponencial -4e^{x}.
  • Queremos a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0.
Passo padrão: procurar soluções da forma y=e^{\lambda x}. Substituindo obtemos a equação característica
\lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1=0.
Reconhecemos o polinômio como uma expansão de (\lambda-1)^{3} (veja que (\lambda-1)^{3}=\lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1). Logo a raiz é \lambda=1 com multiplicidade 3.
Para uma raiz real \lambda=1 de multiplicidade 3, as soluções linearmente independentes da homogênea são
e^{x},\quad x e^{x},\quad x^{2} e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a ordem da EDO é 3).

Passo 3

Escolher um método para obter uma solução particular da não-homogênea. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), adequado quando o termo à direita é combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos.
Regra útil (ressonância): se um termo do lado direito for da forma P(x)e^{\alpha x}, onde P(x) é polinômio e \alpha é raiz da característica de multiplicidade m, então o ansatz deve ser x^{m} vezes um polinômio de mesmo grau que P, multiplicado por e^{\alpha x}.
Aplicando ao nosso caso:
  • Para o termo polinomial x (grau 1): como \lambda=0 não é raiz da característica (verificar \lambda=0\Rightarrow -1\neq0), não há ressonância. Propomos
y_{p1}(x) = A x + B,
com A,B a determinar.
  • Para o termo -4e^{x}: aqui \alpha=1 é raiz da característica com multiplicidade m=3. O polinômio multiplicador tem grau 0 (constante -4), então devemos multiplicar por x^{3}. Propomos
y_{p2}(x) = K x^{3} e^{x},
com K a determinar.
A solução particular será y_{p}=y_{p1}+y_{p2}.

Passo 4

Determinar A e B para y_{p1}(x)=Ax+B.
Calcule derivadas:
y_{p1}'(x)=A,\qquad y_{p1}''(x)=0,\qquad y_{p1}'''(x)=0.
Aplicando o operador L[y]=y'''-3y''+3y'-y em y_{p1}:
L[y_{p1}] = 0 - 3\cdot 0 + 3A - (Ax+B) = -A x + (3A - B).
Devemos ter L[y_{p1}] = x (a parte do lado direito que corresponde ao polinômio). Assim equacionamos coeficientes do polinômio:
  • Coeficiente de x: -A = 1 \Rightarrow A = -1.
  • Termo constante: 3A - B = 0 \Rightarrow 3(-1) - B = 0 \Rightarrow B = -3.
Portanto
y_{p1}(x) = -x - 3.

Passo 5

Determinar K para y_{p2}(x)=K x^{3} e^{x}.
Observação útil (atalho): o operador diferencial do lado esquerdo se fatoriza como
D^{3}-3D^{2}+3D-1 = (D-1)^{3},
onde D denota a derivada \frac{d}{dx}. Uma propriedade prática é: se y(x)=u(x)e^{x}, então
(D-1)^{3}[u e^{x}] = e^{x} u^{(3)}.
Isso facilita muito os cálculos.
No nosso caso u(x)=K x^{3}. Calcule u^{(3)}:
u(x)=K x^{3},\quad u'(x)=3K x^{2},\quad u''(x)=6K x,\quad u^{(3)}(x)=6K.
Portanto
L[y_{p2}] = (D-1)^{3}[K x^{3} e^{x}] = e^{x}\cdot 6K.
Queremos que a contribuição desta parte seja -4e^{x}. Assim
6K e^{x} = -4 e^{x} \Rightarrow 6K = -4 \Rightarrow K = -\frac{2}{3}.
Logo
y_{p2}(x) = -\frac{2}{3} x^{3} e^{x}.

Passo 6

Somar as partes para obter a solução particular total:
y_{p}(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = -x - 3 - \frac{2}{3} x^{3} e^{x}.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)e^{x} - \frac{2}{3} x^{3} e^{x} - x - 3.
Podemos agrupar os termos em e^{x} se quisermos:
y(x) = \left(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right)e^{x} - x - 3,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Resposta

y(x)=\left(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right)e^{x}-x-3

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