Encontre todas as soluções da EDO.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{-x}}{1+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária
y''-2y'+y=\frac{e^{-x}}{1+x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
\text{(i)}\quad \text{EQUAÇÃO: }y''-2y'+y=\frac{e^{-x}}{1+x^{2}}.ÇÃ
\text{(ii)}\quad \text{Queremos a solução geral }y(x)\text{ (todas as soluções).}çãçõ
Nada mais foi dado (por exemplo, condições iniciais), então devemos apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2}-2r+1=0.
Calculamos as raízes:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0 \implies r=1 \text{ (raiz dupla).}
Quando a raiz é dupla r=1, a base de soluções fundamentais é
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_{p} da equação completa usaremos o método de variação de parâmetros. Por que escolhemos esse método? Porque o termo não-homogêneo \dfrac{e^{-x}}{1+x^{2}} não é do tipo que o método dos coeficientes indeterminados trata (não é polinomial, exponencial simples vezes polinômio ou sen/cos simples). Var. de parâmetros dá uma expressão explícita em termos de integrais e funciona com qualquer termo no lado direito (desde que conheçamos as soluções fundamentais da homogênea).
A fórmula das variações de parâmetros para duas soluções fundamentais y_{1},y_{2} é (usando uma forma conveniente com integrais definidas):
y_{p}(x)=-y_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{y_{2}(t)\,g(t)}{W(t)}\,dt+y_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{y_{1}(t)\,g(t)}{W(t)}\,dt,
onde g(x) é o termo não-homogêneo (lado direito) e W é o wronskiano:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) \\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Escolho x_{0}=0 por simplicidade (qualquer ponto fixo serve; constantes resultantes seriam absorvíveis em y_{h}).

Passo 4

Vamos calcular o wronskiano W das soluções fundamentais y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x}.
Derivadas:
y_{1}'(x)=e^{x},\qquad y_{2}'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
O wronskiano é
W(x)=e^{x}\cdot e^{x}(1+x)-e^{x}\cdot x e^{x}=e^{2x}(1+x-x)=e^{2x}.
Portanto W(x)=e^{2x}, que nunca é zero (boa notícia: as fórmulas são válidas globalmente).
O termo não-homogêneo é
g(x)=\frac{e^{-x}}{1+x^{2}}.
Substituímos em \dfrac{y_{2}(t)g(t)}{W(t)} e em \dfrac{y_{1}(t)g(t)}{W(t)} (observe que aqui usamos uma variável de integração t para não confundir com o ponto x):
\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(t)}=\frac{t e^{t}\cdot \dfrac{e^{-t}}{1+t^{2}}}{e^{2t}}=\frac{t\,e^{t-t-2t}}{1+t^{2}}=\frac{t\,e^{-2t}}{1+t^{2}},
\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(t)}=\frac{e^{t}\cdot \dfrac{e^{-t}}{1+t^{2}}}{e^{2t}}=\frac{e^{-2t}}{1+t^{2}}.

Passo 5

Agora escrevemos y_{p} usando as integrais definidas de 0 até x:
y_{p}(x)=-e^{x}\int_{0}^{x}\frac{t\,e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt+x e^{x}\int_{0}^{x}\frac{e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt.
Fatorando e^{x} e combinando as integrais (note que x é constante em relação à integração em t):
y_{p}(x)=e^{x}\left[-\int_{0}^{x}\frac{t\,e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt + x\int_{0}^{x}\frac{e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt\right] = e^{x}\int_{0}^{x}\frac{(x-t)\,e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt.
Essa forma é mais compacta e clara: é uma integral convolucional com núcleo (x-t)e^{-2t}/(1+t^{2}).
Observação didática: tentar buscar uma primitiva elementar para \dfrac{e^{-2t}}{1+t^{2}} ou \dfrac{t e^{-2t}}{1+t^{2}} não funciona em termos de funções elementares usuais (envolveria integrais especiais). Por isso deixamos a solução particular na forma integral; isso é perfeitamente aceitável e comum em EDOs quando o lado direito é complicado.

Passo 6

Juntando a solução homogênea e a particular obtemos a solução geral:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+e^{x}\int_{0}^{x}\frac{(x-t)\,e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Se quiser, podemos fatorar e^{x}:
y(x)=e^{x}\left(C_{1}+C_{2}x+\int_{0}^{x}\frac{(x-t)\,e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt\right).

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+e^{x}\int_{0}^{x}\frac{(x-t)\,e^{-2t}}{1+t^{2}}\,dt

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