Quando a raiz é dupla r=1, a base de soluções fundamentais é
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para obter uma solução particular y_{p} da equação completa usaremos o método de variação de parâmetros. Por que escolhemos esse método? Porque o termo não-homogêneo \dfrac{e^{-x}}{1+x^{2}} não é do tipo que o método dos coeficientes indeterminados trata (não é polinomial, exponencial simples vezes polinômio ou sen/cos simples). Var. de parâmetros dá uma expressão explícita em termos de integrais e funciona com qualquer termo no lado direito (desde que conheçamos as soluções fundamentais da homogênea).
A fórmula das variações de parâmetros para duas soluções fundamentais y_{1},y_{2} é (usando uma forma conveniente com integrais definidas):
W(x)=e^{x}\cdot e^{x}(1+x)-e^{x}\cdot x e^{x}=e^{2x}(1+x-x)=e^{2x}.
Portanto W(x)=e^{2x}, que nunca é zero (boa notícia: as fórmulas são válidas globalmente).
O termo não-homogêneo é
g(x)=\frac{e^{-x}}{1+x^{2}}.
Substituímos em \dfrac{y_{2}(t)g(t)}{W(t)} e em \dfrac{y_{1}(t)g(t)}{W(t)} (observe que aqui usamos uma variável de integração t para não confundir com o ponto x):
Essa forma é mais compacta e clara: é uma integral convolucional com núcleo (x-t)e^{-2t}/(1+t^{2}).
Observação didática: tentar buscar uma primitiva elementar para \dfrac{e^{-2t}}{1+t^{2}} ou \dfrac{t e^{-2t}}{1+t^{2}} não funciona em termos de funções elementares usuais (envolveria integrais especiais). Por isso deixamos a solução particular na forma integral; isso é perfeitamente aceitável e comum em EDOs quando o lado direito é complicado.
Passo 6
Juntando a solução homogênea e a particular obtemos a solução geral: