Encontre todas as soluçöes no intervalo (0,2 \pi) para as supmines equaçöes:
\operatorname{sen} 2 \theta-\operatorname{sen} \theta=0

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação
\sin 2\theta - \sin \theta = 0
no intervalo 0<\theta<2\pi. Vamos usar a identidade trigonométrica para \sin2\theta e depois fatorar para encontrar as raízes.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,
de modo que a equação fica
2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta = 0.
Agora fatoramos \sin\theta:
\sin\theta\bigl(2\cos\theta - 1\bigr) = 0.

Passo 3

Cada fator dá um caso:
3.1 \sin\theta = 0.
As soluções gerais são \theta = k\pi, k\in\mathbb{Z}. No intervalo 0<\theta<2\pi isso só ocorre em
\theta = \pi.
3.2 2\cos\theta - 1 = 0.
Então \cos\theta = \tfrac12. As soluções gerais são
\theta = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi.
No intervalo dado, ficam
\theta = \tfrac{\pi}{3} e \theta = \tfrac{5\pi}{3}.

Resposta

\theta = \tfrac{\pi}{3}, \pi, \tfrac{5\pi}{3}.

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