Encontre todas as soluçöes no intervalo (0,2 \pi) para as supmines equaçöes:
\cos x+\cos 3 x=\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver no intervalo (0,2\pi) a equação trigonométrica
\cos x + \cos 3x = \cos 2x.
O conteúdo principal aqui são identidades trigonométricas de soma de cossenos. Vamos usar a identidade
\cos A + \cos B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr)
para transformar o lado esquerdo.

Passo 2

Aplicando a identidade com A = x e B = 3x, temos
\cos x + \cos 3x = 2\cos\!\bigl(\tfrac{x + 3x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x - 3x}{2}\bigr) = 2\cos(2x)\cos(-x).
Como \cos(-x)=\cos x, a equação vira
2\cos(2x)\cos(x) = \cos(2x).
Colocando tudo num produto, obtemos
\cos(2x)\bigl(2\cos x - 1\bigr) = 0.

Passo 3

A primeira possibilidade é
\cos(2x) = 0.
Isso ocorre quando
2x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}.
No intervalo (0,2\pi) tomamos k=0,1,2,3, dando
x = \frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4}.

Passo 4

A segunda possibilidade é
2\cos x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x = \tfrac12.
Sabemos que \cos x = \tfrac12 em
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad\text{ou}\quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n,
com n\in\mathbb{Z}. No intervalo (0,2\pi) surgem
x = \frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle x \in \bigl\{\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{3\pi}{4},\,\tfrac{5\pi}{4},\,\tfrac{7\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{3}\bigr\}.

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