Informações relevantes dadas: a matriz A é 3\times3. A tarefa é achar todos os escalares \lambda (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores não nulos v tais que Av=\lambda v (autovetores).]
Passo 2
Definição e estratégia: um autovalor \lambda satisfaz
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Esse determinante gera o polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda, resolvemos o sistema linear
(A-\lambda I)v=0
para encontrar os autovetores v (vetores não nulos na nulidade de A-\lambda I).
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
(Se quiser, pode-se escolher vetores equivalentes escalados, por exemplo (0,6,1)^{T} também poderia ser trocado por (0,6,1)^{T} dividido por 1 — aqui mantive inteiros para ficar prático na prova.)
Observação rápida e motivadora: a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2, igual à multiplicidade algébrica 2. Isso significa que A é diagonalizável — se precisarmos diagonalizar, já temos uma base de autovetores.]
Autovetores para \lambda=2: vetores da forma s\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\[4pt]6\\[4pt]1\end{pmatrix}, com s,t não ambos zero.\n
Autovetores para \lambda=9: múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]