Portanto a tarefa é calcular todos os valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com A v = \lambda v, e encontrar uma base (ou geradores) para cada espaço próprio correspondente a cada \lambda.]
Passo 2
Vamos usar a definição de autovalor: \lambda é autovalor de A se e somente se \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Primeiro escrevo A-\lambda I:
Agora calculo o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I). Vou expandir pela primeira linha (regra de Sarrus / cofactores) — cada termo será explicado passo a passo.]
Dividindo por 2\] quando conveniente, as duas primeiras equações dão \(y=z e x=z. Substituindo na terceira obtemos x+y-2z= z+z-2z=0, que é consistente. Portanto todos os vetores da forma
v=t(1,1,1),\qquad t\in\mathbb{R},\\ t\neq0,
são autovetores associados a \lambda=1. Em outras palavras o espaço próprio de \lambda=1 é \mathrm{span}\{(1,1,1)\}.]
Passo 7
Agora \lambda=-1. Resolvemos (A+I)v=0. Escrevo a matriz:
As três linhas são iguais, então há apenas uma equação independente. Para v=(x,y,z)^T obtemos:
2x+2y-2z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y-z=0.
Portanto z=x+y e os vetores próprios são todos os vetores da forma
v=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Uma base conveniente do espaço próprio (duas direções linearmente independentes) é, por exemplo,
(1,0,1)\quad\text{e}\quad(0,1,1).
Observação: também poderia ter-se escolhido outra base como (1,-1,0) e (1,0,1); qualquer par linearmente independente que satisfaça z=x+y serve. A dimensão do espaço próprio de \lambda=-1 é 2, que coincide com a multiplicidade algébrica 2.]
Passo 8
Resumo das multiplicidades e verificação rápida: os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 1, espaço próprio unidimensional) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2, espaço próprio bidimensional). Obtivemos vetores próprios não-nulos para cada caso, como pedido.
Resposta
\lambda=1: autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\n
\lambda=-1: autovetores gerados por \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}]