Encontre todos os autovalores e autovetores das matrizes abaixo,
\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz dada. As informações fornecidas são a própria matriz, cujos elementos são:
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 1 & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -3\end{pmatrix}
Portanto a tarefa é calcular todos os valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com A v = \lambda v, e encontrar uma base (ou geradores) para cada espaço próprio correspondente a cada \lambda.]

Passo 2

Vamos usar a definição de autovalor: \lambda é autovalor de A se e somente se \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 1-\lambda & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculo o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I). Vou expandir pela primeira linha (regra de Sarrus / cofactores) — cada termo será explicado passo a passo.]

Passo 3

Calculo dos menores exigidos pela expansão:
\begin{aligned} M_{11}&=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt] 2 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-3-\lambda)-(-2)\cdot 2,\\[4pt] M_{12}&=\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt] 2 & -3-\lambda\end{pmatrix} =2(-3-\lambda)-(-2)\cdot 2,\\[4pt] M_{13}&=\det\begin{pmatrix}2 & 1-\lambda\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} =2\cdot 2-(1-\lambda)\cdot 2. \end{aligned}
Agora simplifico cada um:
\begin{aligned} M_{11}&=-(1-\lambda)(3+\lambda)+4 =-(3-2\lambda-\lambda^2)+4 =\lambda^2+2\lambda+1=(\lambda+1)^2,\\[4pt] M_{12}&=-6-2\lambda+4=-2-2\lambda=-2(1+\lambda),\\[4pt] M_{13}&=4-2(1-\lambda)=2+2\lambda=2(1+\lambda). \end{aligned}]

Passo 4

Agora monto a expansão da determinante pela primeira linha:
\chi(\lambda)=(1-\lambda)M_{11}-2\cdot M_{12}+(-2)\cdot M_{13}.
Substituindo os menores obtidos:
\chi(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda+1)^2-2\big(-2(1+\lambda)\big)+(-2)\big(2(1+\lambda)\big).
As duas parcelas finais cancelam:
-2\big(-2(1+\lambda)\big)+(-2)\big(2(1+\lambda)\big)=4(1+\lambda)-4(1+\lambda)=0.
Logo ficamos com
\chi(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda+1)^2.

Passo 5

Das fatorações acima obtemos os autovalores como raízes de \chi(\lambda)=0. Assim:
(1-\lambda)=0\implies \lambda=1, \qquad (\lambda+1)^2=0\implies \lambda=-1\\ \text{(multiplicidade algébrica }2).é

Passo 6

Agora encontramos os autovetores correspondentes. Primeiro \lambda=1\). Devemos resolver \((A-I)v=0\). Escrevo a matriz: \[A-I=\begin{pmatrix}0 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 0 & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -4\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, o sistema linear é:
\begin{cases} 2y-2z=0,\\[4pt] 2x-2z=0,\\[4pt] 2x+2y-4z=0. \end{cases}
Dividindo por 2\] quando conveniente, as duas primeiras equações dão \(y=z e x=z. Substituindo na terceira obtemos x+y-2z= z+z-2z=0, que é consistente. Portanto todos os vetores da forma
v=t(1,1,1),\qquad t\in\mathbb{R},\\ t\neq0,
são autovetores associados a \lambda=1. Em outras palavras o espaço próprio de \lambda=1 é \mathrm{span}\{(1,1,1)\}.]

Passo 7

Agora \lambda=-1. Resolvemos (A+I)v=0. Escrevo a matriz:
A-(-1)I=A+I=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -2\end{pmatrix}.
As três linhas são iguais, então há apenas uma equação independente. Para v=(x,y,z)^T obtemos:
2x+2y-2z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y-z=0.
Portanto z=x+y e os vetores próprios são todos os vetores da forma
v=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Uma base conveniente do espaço próprio (duas direções linearmente independentes) é, por exemplo,
(1,0,1)\quad\text{e}\quad(0,1,1).
Observação: também poderia ter-se escolhido outra base como (1,-1,0) e (1,0,1); qualquer par linearmente independente que satisfaça z=x+y serve. A dimensão do espaço próprio de \lambda=-1 é 2, que coincide com a multiplicidade algébrica 2.]

Passo 8

Resumo das multiplicidades e verificação rápida: os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 1, espaço próprio unidimensional) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2, espaço próprio bidimensional). Obtivemos vetores próprios não-nulos para cada caso, como pedido.

Resposta

\lambda=1: autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\n
\lambda=-1: autovetores gerados por \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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