Encontre todos os inteiros
que satisfazem
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros
que satisfazem a congruência
Informações dadas:
- Coeficiente da incógnita:
. - Lado direito:
. - Módulo:
.
O que se quer: a descrição de todos os inteirosque tornam verdadeira essa relação modular.
Passo 2
Entendimento da técnica (explicação didática e passo a passo):
- Uma congruência da forma
pode ter zero, uma ou várias classes de soluções modulo . - Primeiro passo útil: calcular
. Se então NÃO há solução. Se então existem exatamente classes distintas de soluções módulo . - No caso em questão temos
, , . Vamos calcular .
Calculem comigo o máximo divisor comum usando a divisão:
Logo
. Como
divide
, existe solução e, sendo
, a solução é única na classe módulo
.
Passo 3
Encontrar a inversa de
módulo
(porque
):
- A partir da linha de cima da divisão temos a identidade
Isto mostra que
é um inverso de
módulo
. Como trabalhamos módulo
,
. Portanto o inverso multiplicativo de
módulo
é
, pois
Breve explicação do porquê isso ajuda: se existe
tal que
, multiplicar a congruência original por
“divide” por
no sentido modular.
Passo 4
Multiplicar a congruência original pelo inverso
:
No lado esquerdo
(pois
), então obtemos
Reduzindo
módulo
:
. Assim
Passo 5
Escrever a solução completa em forma explícita e verificar:
- A descrição completa de todos os inteiros que satisfazem a congruência é
- Verificação rápida: se
então . Como é múltiplo de , tem-se , logo a família dada satisfaz a congruência.