Encontre todos os inteiros x que satisfazem
2 x \equiv 4 \bmod 15

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os inteiros x que satisfazem a congruência
2x \equiv 4 \pmod{15}.
Informações dadas:
  • Coeficiente da incógnita: 2.
  • Lado direito: 4.
  • Módulo: 15.
    O que se quer: a descrição de todos os inteiros x que tornam verdadeira essa relação modular.

Passo 2

Entendimento da técnica (explicação didática e passo a passo):
  • Uma congruência da forma \,a x \equiv b \pmod{n}\, pode ter zero, uma ou várias classes de soluções modulo n.
  • Primeiro passo útil: calcular d=\gcd(a,n). Se d\nmid b então NÃO há solução. Se d\mid b então existem exatamente d classes distintas de soluções módulo n.
  • No caso em questão temos a=2, b=4, n=15. Vamos calcular \gcd(2,15).
Calculem comigo o máximo divisor comum usando a divisão:
15 = 2\cdot7 + 1,
2 = 1\cdot2 + 0.
Logo \gcd(2,15)=1. Como 1 divide 4, existe solução e, sendo d=1, a solução é única na classe módulo 15.

Passo 3

Encontrar a inversa de 2 módulo 15 (porque \gcd(2,15)=1):
  • A partir da linha de cima da divisão temos a identidade
1 = 15 - 2\cdot7.
Isto mostra que -7 é um inverso de 2 módulo 15. Como trabalhamos módulo 15, -7\equiv 8 \pmod{15}. Portanto o inverso multiplicativo de 2 módulo 15 é 8, pois
2\cdot 8 = 16 \equiv 1 \pmod{15}.
Breve explicação do porquê isso ajuda: se existe a^{-1} tal que a a^{-1}\equiv1, multiplicar a congruência original por a^{-1} “divide” por a no sentido modular.

Passo 4

Multiplicar a congruência original pelo inverso 8:
8\cdot(2x) \equiv 8\cdot 4 \pmod{15}.
No lado esquerdo 8\cdot 2x \equiv 1\cdot x (pois 8\cdot2\equiv1), então obtemos
x \equiv 32 \pmod{15}.
Reduzindo 32 módulo 15: 32-2\cdot15=32-30=2. Assim
x \equiv 2 \pmod{15}.

Passo 5

Escrever a solução completa em forma explícita e verificar:
  • A descrição completa de todos os inteiros que satisfazem a congruência é
x = 2 + 15k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Verificação rápida: se x=2+15k então 2x = 4 + 30k. Como 30k é múltiplo de 15, tem-se 2x \equiv 4 \pmod{15}, logo a família dada satisfaz a congruência.

Resposta

x \equiv 2 \pmod{15}
x = 2 + 15k,\; k\in\mathbb{Z}

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