Um experimento foi realizado com o objetivo de avaliar o efeito do ambiente (com luz artificial e sem luz artificial no período da noite) e do tipo de ração (com cálcio e sem cálcio) sobre a produção de ovos de aves de uma determinada linhagem de poedeiras. Considerou-se o delineamento inteiramente casualizado, com 6 repetições. Os tratamentos testados foram:
\mathbf{A}=) Ração com cálcio, com luz artificial no período noturno;
B - Ração com cálcio, sem luz artificial no período noturno;
\mathbf{C}=) Ração sem cálcio, com luz artificial no período noturno;
D - Ração sem cálcio, sem luz artificial no período noturno.
A análise de variância dos dados experimentais, considerando a produção de ovos por parcela é apresentada a seguir
FV GL SQ QM \mathrm{F}_{\mathrm{C}}
Tratamentos 3 549,13 183,04 23,65**
Erro 20 154,83 7,74
Total 23 703,96
** Teste significativo a 1 \% de probabilidade
Pede-se:
b) Se necessário for, aplique o teste F aos seguintes contrastes de médias, complete a tabela abaixo e responda os questionamentos:
Aplique o teste F aos contrastes de médias abaixo, com suas respectivas estimativas, completando a Anova e respondendo os questionamentos a seguir:
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline &
\begin{aligned} & \mathrm{Y}_{1}=\mathrm{m}_{\mathrm{A}}+\mathrm{m}_{\mathrm{B}}-\mathrm{m}_{\mathrm{C}}-\mathrm{m}_{\mathrm{D}} \\\ & \mathrm{Y}_{2}=\mathrm{m}_{\mathrm{A}}-\mathrm{m}_{\mathrm{B}} \\\ & \mathrm{Y}_{3}=\mathrm{m}_{\mathrm{C}}-\mathrm{m}_{\mathrm{D}} \end{aligned}
&
\begin{gathered} \widehat{Y}=16,83 \\\ \widehat{Y}=3,33 \\\ \widehat{Y}=5,50 \end{gathered}
& \
\hline FV & GL & SQ & \mathrm{F}_{\mathrm{C}} \
\hline Contraste 1 & & & \
\hline Contraste 2 & & & \
\hline Contraste 3 & & & \
\hline Erro & 20 & 7,74 & \
\hline
\end{tabular}
Pergunta 1: Houve efeito do tipo de ração? Justifique informando qual(is) contraste(s) se baseou para responder?
Pergunta 2: Houve efeito do uso de luz artificial no período noturno? Justifique informando qual(is) contraste(s) se baseou para responder?
Pergunta 3: Qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s)?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Tratamentos (4), com 6 repetições cada (delineamento inteiramente casualizado):
    • A: ração com cálcio, com luz artificial no período noturno;
    • B: ração com cálcio, sem luz artificial no período noturno;
    • C: ração sem cálcio, com luz artificial no período noturno;
    • D: ração sem cálcio, sem luz artificial no período noturno.
  • Análise de variância fornecida (peguei esses números do enunciado):
    • Soma de quadrados dos tratamentos: \text{SQ}_{T} = 549{,}13 com 3 graus de liberdade;
    • Soma de quadrados do erro: \text{SQ}_{E} = 154{,}83 com 20 graus de liberdade;
    • Quadrado médio do erro (MSE): \text{QM}_E = 7{,}74.
    • Estatística F global para tratamentos: F_C = 23{,}65 (significativo a 1\%).
  • Os contrastes que devemos testar (estão no enunciado) e suas estimativas (peguei esses valores do enunciado):
    • \displaystyle Y_{1}=\mathrm{m}_{\!A}+\mathrm{m}_{\!B}-\mathrm{m}_{\!C}-\mathrm{m}_{\!D}, \widehat{Y}_{1}=16{,}83.
    • \displaystyle Y_{2}=\mathrm{m}_{\!A}-\mathrm{m}_{\!B}, \widehat{Y}_{2}=3{,}33.
    • \displaystyle Y_{3}=\mathrm{m}_{\!C}-\mathrm{m}_{\!D}, \widehat{Y}_{3}=5{,}50.
O que se pede agora (implícito): calcular para cada contraste a soma de quadrados do contraste, o quadrado médio do contraste (aqui será igual ao SQ do contraste, pois df=1), e o F do contraste (comparando com \text{QM}_E); com base nisso responder as perguntas sobre efeito do tipo de ração, efeito da luz e quais tratamentos são melhores.

Passo 2

Explicando a teoria necessária (passo a passo, como se fosse na prova).
  • O que é um contraste linear? É uma combinação linear das médias de tratamento \sum c_i \mu_i com \sum c_i = 0. Para estimar um contraste usa-se \widehat{L}=\sum c_i \bar{y}_i (no enunciado essas estimativas já foram dadas como \widehat{Y}).
  • Soma de quadrados atribuível a um contraste (em delineamento com r repetições iguais por tratamento) é dada por
\text{SQ}_{\text{contraste}}=\frac{\widehat{L}^{\,2}}{\displaystyle\sum_{i}\frac{c_i^{2}}{r}}.
Aqui c_i são os coeficientes do contraste e r é o número de repetições por tratamento. Explicando as partes:
  • \widehat{L} é a estimativa do contraste (uma diferença de médias combinada).
  • \sum c_i^2/r é um fator de normalização que transforma o quadrado do contraste em uma soma de quadrados compatível com a ANOVA.
  • Graus de liberdade: cada contraste tem 1 grau de liberdade.
  • Para testar se o contraste é significativo calcula-se a estatística
F=\frac{\text{SQ}_{\text{contraste}}/1}{\text{QM}_E}=\frac{\text{SQ}_{\text{contraste}}}{\text{QM}_E},
onde \text{QM}_E é o quadrado médio do erro (fornecido: 7{,}74). Comparamos com F_{(1,20)} crítico. Valores usuais aproximados:
  • F_{0{,}05;1,20}\approx 4{,}351,
  • F_{0{,}01;1,20}\approx 8{,}02.
    Se F calculado > valor crítico, o contraste é significativo ao nível escolhido.

Passo 3

Determinar os coeficientes c_i e o denominador \sum c_i^2/r para cada contraste (há r=6 repetições):
  • Contrast 1: Y_1 = m_A+m_B-m_C-m_D \Rightarrow coeficientes c=(1,1,-1,-1).
    \displaystyle\sum c_i^2 = 1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2 = 4.
    \displaystyle\sum\frac{c_i^2}{r}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
  • Contrast 2: Y_2 = m_A - m_B \Rightarrow coeficientes c=(1,-1,0,0).
    \displaystyle\sum c_i^2 = 1^2+(-1)^2+0+0 = 2.
    \displaystyle\sum\frac{c_i^2}{r}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
  • Contrast 3: Y_3 = m_C - m_D \Rightarrow coeficientes c=(0,0,1,-1).
    \displaystyle\sum c_i^2 = 2,\quad \sum\frac{c_i^2}{r}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Calcular as somas de quadrados dos contrastes (usar a fórmula).
  • Contraste 1:
\text{SQ}_1=\frac{\widehat{Y}_1^{\,2}}{\displaystyle\sum\frac{c_i^2}{r}} =\frac{(16{,}83)^{2}}{4/6}=(16{,}83)^{2}\times\frac{6}{4}.
Calcule passo a passo:
(16{,}83)^{2}=283{,}2489.
\text{SQ}_1=283{,}2489\times\frac{6}{4}=283{,}2489\times 1{,}5=424{,}87335\approx 424{,}87.
  • Contraste 2:
\text{SQ}_2=\frac{(3{,}33)^{2}}{2/6}=(3{,}33)^{2}\times\frac{6}{2}=(3{,}33)^{2}\times 3.
(3{,}33)^{2}=11{,}0889,\quad \text{SQ}_2=11{,}0889\times 3=33{,}2667\approx 33{,}27.
  • Contraste 3:
\text{SQ}_3=\frac{(5{,}50)^{2}}{2/6}=(5{,}50)^{2}\times 3.
(5{,}50)^{2}=30{,}25,\quad \text{SQ}_3=30{,}25\times 3=90{,}75.
Verificação rápida: \text{SQ}_1+\text{SQ}_2+\text{SQ}_3 \approx 424{,}87+33{,}27+90{,}75=548{,}89, que está muito próximo de \text{SQ}_{T}=549{,}13 (diferença por arredondamentos das estimativas). Isso é coerente: três contrastes ortogonais (df total =3) decompõem a soma de quadrados dos tratamentos.

Passo 5

Calcular as estatísticas F dos contrastes comparando com \text{QM}_E=7{,}74.
  • Para cada contraste \text{MS}_{\text{contraste}}=\text{SQ}_{\text{contraste}} (pois df=1), assim
F_i=\frac{\text{SQ}_i}{\text{QM}_E}.
  • Contraste 1:
F_1=\frac{424{,}87335}{7{,}74}\approx 54{,}88.
  • Contraste 2:
F_2=\frac{33{,}2667}{7{,}74}\approx 4{,}30.
  • Contraste 3:
F_3=\frac{90{,}75}{7{,}74}\approx 11{,}73.
Comparações com os valores críticos (aproximados):
  • F_{0{,}05;1,20}\approx 4{,}351.
  • F_{0{,}01;1,20}\approx 8{,}02.
Interpretação de significância:
  • F_1\approx 54{,}88 \gg 8{,}02 → Contraste 1 é altamente significativo (p < 0{,}01).
  • F_2\approx 4{,}30 < 4{,}351 → Contraste 2 não é significativo ao nível de 5\% (fica ligeiramente abaixo do crítico de 5\%); portanto não rejeitamos H_0 para esse contraste.
  • F_3\approx 11{,}73 > 8{,}02 → Contraste 3 é significativo ao nível de 1\%.
Observação didática: embora Y_2 (efeito da luz dentro do grupo com cálcio) não seja significativo, Y_3 (efeito da luz dentro do grupo sem cálcio) é significativo. Além disso podemos formar o contraste do efeito geral da luz (média dos tratamentos com luz menos média dos tratamentos sem luz):
Y_{\text{luz}}=m_A+m_C-m_B-m_D=Y_2+Y_3,
com estimativa \widehat{Y}_{\text{luz}}=3{,}33+5{,}50=8{,}83. Aplicando a fórmula (coeficientes (1,-1,1,-1) têm \sum c_i^2=4 e denom =4/6):
\text{SQ}_{\text{luz}}=(8{,}83)^{2}\times\frac{6}{4}\approx 116{,}95, \qquad F_{\text{luz}}=\frac{116{,}95}{7{,}74}\approx 15{,}11,
que é também altamente significativo ( >\!8{,}02). Ou seja, o efeito global da luz é significativo mesmo que dentro de um dos níveis de ração (com cálcio) não se observe diferença significativa.

Passo 6

Interpretações e respostas às perguntas com justificativa em termos dos contrastes:
  • Pergunta 1: Houve efeito do tipo de ração?
    • Usei o Contraste Y_1=\;m_A+m_B-m_C-m_D (diferença entre médias com cálcio e sem cálcio). Esse contraste teve \widehat{Y}_1=16{,}83, \text{SQ}_1\approx 424{,}87 e F_1\approx 54{,}88, muito maior que F_{0{,}01;1,20}. Logo há efeito altamente significativo do tipo de ração: a ração com cálcio aumenta a produção de ovos em relação à ração sem cálcio.
    • Sinal do contraste positivo ( \widehat{Y}_1>0) indica \dfrac{m_A+m_B}{2}>\dfrac{m_C+m_D}{2} (médias com cálcio maiores).
  • Pergunta 2: Houve efeito do uso de luz artificial no período noturno?
    • O efeito geral da luz pode ser representado por Y_{\text{luz}}=m_A+m_C-m_B-m_D=Y_2+Y_3. Achei \widehat{Y}_{\text{luz}}=8{,}83, \text{SQ}_{\text{luz}}\approx 116{,}95 e F_{\text{luz}}\approx 15{,}11, que é significativo a 1\%. Portanto, sim, houve efeito global da luz artificial (a presença de luz aumentou a produção).
    • Observação detalhada: o efeito da luz dentro do nível “com cálcio” ( Y_2) não foi significativo ( F_2\approx 4{,}30 ligeiramente abaixo do crítico de 5\%), enquanto o efeito da luz dentro do nível “sem cálcio” ( Y_3) foi significativo ( F_3\approx 11{,}73). Isso significa: a luz beneficia mais claramente as aves alimentadas sem cálcio; porém, considerando todos os dados, a luz tem efeito positivo médio significativo.

Passo 7

Qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s)? (interpretação prática e ordenação)
  • Podemos ordenar as médias dos tratamentos a partir das três equações dos contrastes. Para obter um ranking relativo (ordem dos tratamentos) não precisamos do nível absoluto das médias; podemos resolver as diferenças até uma constante comum. Tomando como conveniência a soma das médias igual a zero (isso apenas fixa uma referência), resolvemos:
    • Sistema (pegando os \widehat{Y}\) dados): \[\begin{cases} x_A+x_B-x_C-x_D=16{,}83,\\[4pt] x_A-x_B=3{,}33,\\[4pt] x_C-x_D=5{,}50,\\[4pt] x_A+x_B+x_C+x_D=0\\ \text{(condição de referência)} \end{cases}
    • Resolvendo dá (valores relativos) x_A\approx 5{,}8725,\quad x_B\approx 2{,}5425,\quad x_C\approx -1{,}4575,\quad x_D\approx -6{,}9575.
    • Portanto a ordenação das médias (do maior para o menor) é m_A>m_B>m_C>m_D.
  • Interpretação prática:
    • O melhor tratamento é A\] (ração com cálcio e com luz noturna) — tem a maior produção média. - Em segundo lugar vem \(B (ração com cálcio, sem luz).
      - Em terceiro C (sem cálcio, com luz).
      - O pior é D (sem cálcio, sem luz).
      - Explicação intuitiva: a ração com cálcio confere um aumento grande e consistente; a luz aumenta a produção em média (efeito significativo), mas o aumento causado pela presença de cálcio é maior. A interação é pequena (conforme a decomposição; a maior parte da soma de quadrados dos tratamentos foi explicada pelos efeitos principais), de modo que combinar cálcio + luz (tratamento A) dá o melhor resultado.]

Resposta

Sim, houve efeito do tipo de ração (contraste Y_1: \widehat{Y}_1=16{,}83, \text{SQ}_1\approx424{,}87, F_1\approx54{,}88, significativo a 1\%).
Sim, houve efeito do uso de luz artificial (efeito geral da luz Y_{\text{luz}}=Y_2+Y_3: \widehat{Y}_{\text{luz}}=8{,}83, \text{SQ}_{\text{luz}}\approx116{,}95, F_{\text{luz}}\approx15{,}11, significativo a 1\%); nota: Y_2 não foi significativo ( F_2\approx4{,}30), Y_3 foi significativo ( F_3\approx11{,}73).
Melhor tratamento: A (ração com cálcio e com luz). Ordem estimada: A>B>C>D.

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