Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade e represente graficamente: |2x - 3| < 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todos os números reais que satisfazem a desigualdade |2x - 3| < 8 e representar isso graficamente. O conteúdo que vamos usar aqui é desigualdade envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o valor absoluto e como resolver desigualdades desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O |a| representa a distância de a até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo. Então, |2x - 3| é a distância de 2x - 3 até zero. A desigualdade |2x - 3| < 8 significa que essa distância é menor que 8.

Passo 3

Quando temos uma desigualdade envolvendo valor absoluto do tipo |A| < B, onde B é positivo, isso se traduz em duas desigualdades: A < B e A > -B. No nosso caso, A = 2x - 3 e B = 8. Então, vamos dividir a desigualdade em duas partes:
2x - 3 < 8 e 2x - 3 > -8

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas desigualdades separadamente.
Primeiro: 2x - 3 < 8
A gente adiciona 3 em ambos os lados:
2x < 11
Agora, divide ambos os lados por 2:
x < 112 ou x < 5,5

Passo 5

Segundo: 2x - 3 > -8
Adicionamos 3 em ambos os lados:
2x > -5
Dividimos por 2:
x > -52 ou x > -2,5

Passo 6

Agora, juntando as duas soluções que encontramos:
-2,5 < x < 5,5
Isso significa que todos os números reais entre -2,5 e 5,5 satisfazem a desigualdade |2x - 3| < 8.

Passo 7

Para representar isso graficamente na reta numérica, marcamos os pontos -2,5 e 5,5 com círculos abertos (porque a desigualdade é estrita, “<”), e somamos uma linha contínua entre eles, indicando que todos os valores entre esses pontos são soluções.

Resposta

Os números reais que satisfazem a desigualdade |2x - 3| < 8 são todos os x tais que -2,5 < x < 5,5. Graficamente, isso é representado por uma reta numérica com uma linha contínua entre -2,5 e 5,5, com círculos abertos nesses pontos.
-2,5 < x < 5,5
Gráfico da desigualdade |2x - 3| < 8

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