Encontre todos os pontos interiores, pontos de acumulação, pontos isolados e pontos de fronteira de cada um dos conjuntos a seguir.
\{1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5, \ldots\}

Passo 1

O enunciado pede para o conjunto
X = \{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac14,\,\tfrac15,\dots\}
no espaço \mathbb{R} (com a topologia usual) encontrarmos
– pontos interiores (aqueles que têm um intervalo aberto em X),
– pontos de acumulação (cada vizinhança contém outro ponto de X),
– pontos isolados (não são de acumulação),
– pontos de fronteira (fecho menos interior).
Vamos usar as definições padrão de topologia em \mathbb{R}.

Passo 2

Interior de X. Se x\in X, digamos x=1/n, qualquer intervalo aberto \bigl(x-\varepsilon,x+\varepsilon\bigr) contém infinitos reais que não pertencem a X. Logo não há intervalo aberto inteiro contido em X.
Portanto o conjunto dos pontos interiores é o conjunto vazio:
\mathrm{Int}(X)=\varnothing.

Passo 3

Pontos isolados. Um ponto x\in X é isolado se existe \varepsilon>0 tal que
\bigl(x-\varepsilon,x+\varepsilon\bigr)\cap\bigl(X\setminus\{x\}\bigr)=\varnothing.
Para x=1/n, basta tomar
\varepsilon = \frac12\min\Bigl\{\bigl|\,\tfrac1n-\tfrac1{n+1}\bigr|,\bigl|\tfrac1{n-1}-\tfrac1n\bigr|\Bigr\}
(ajustando para n=1 só desconsiderar \tfrac1{n-1}). Esse \varepsilon afasta 1/n de qualquer outro 1/k.
Logo todos os pontos 1/n são isolados:
\{\text{pontos isolados}\} = \{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots\}.

Passo 4

Pontos de acumulação. Um ponto x é de acumulação se toda vizinhança de x contém algum ponto de X diferente de x.
  1. Se x=0, dado qualquer \varepsilon>0 existe N tal que para n>N temos 1/n<\varepsilon, logo 1/n\in(-\varepsilon,\varepsilon). Assim 0 é ponto de acumulação de X.
  2. Se x\neq0 e x\notin X, podemos escolher \varepsilon pequeno o suficiente para que (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não contenha nenhum 1/n.
  3. Se x=1/n, vimos que é isolado, logo não é de acumulação.
    Assim o único ponto de acumulação é
\{0\}.

Passo 5

Fronteira de X. Sabendo que
\overline{X} = X\cup\{0\}, \qquad \mathrm{Int}(X)=\varnothing,
a fronteira é
\partial X = \overline{X}\setminus\mathrm{Int}(X) = X\cup\{0\}.

Resposta

– Pontos interiores: \varnothing.
– Pontos de acumulação: \{0\}.
– Pontos isolados: \{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots\}.
– Pontos de fronteira: \{0\}\cup\{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots\}.

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