Encontre todos os pontos interiores, pontos de acumulação, pontos isolados e pontos de fronteira de cada um dos conjuntos a seguir. \mathbb{R}-\mathbb{Q}
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto
S = \mathbb{R} - \mathbb{Q}
(encontra todos os números irracionais) determinarmos:
– os pontos interiores de S,
– os pontos de acumulação de S,
– os pontos isolados de S,
– os pontos de fronteira de S.
Iremos usar noções básicas de topologia em \mathbb{R}: definição de interior, ponto de acumulação, ponto isolado e fronteira.
Passo 2
Para achar o interior de S lembramos que um ponto x é interior se existe um intervalo aberto \bigl(x-\varepsilon,x+\varepsilon\bigr) contido em S. Mas \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, logo qualquer intervalo aberto em \mathbb{R} contém números racionais. Isso impede que haja um intervalo livre de racionais e, portanto, livre de pontos fora de S. Concluímos
\text{int}(S) = \emptyset.
Passo 3
Um ponto x\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de S se todo vizinhança de x contém algum ponto de S diferente de x. Como os irracionais também são densos em \mathbb{R}, qualquer intervalo aberto em \mathbb{R} contém irracionais. Logo, todo x\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de S. Assim
\text{acum}(S) = \mathbb{R}.
Passo 4
Um ponto x\in S é isolado se existe alguma vizinhança de x que não contém nenhum outro ponto de S. Mas, de novo pela densidade dos irracionais, qualquer intervalo aberto em torno de x contém infinitely muitos irracionais além de x. Portanto não há pontos isolados em S:
\text{isol}(S) = \emptyset.
Passo 5
A fronteira de S é \overline{S}-\text{int}(S). A aderência \overline{S} de S é \mathbb{R} (irracionais são densos) e \text{int}(S)=\emptyset. Logo