Encontre todos os pontos interiores, pontos de acumulação, pontos isolados e pontos de fronteira de cada um dos conjuntos a seguir. \mathbb{R}-\mathbb{N}
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto \displaystyle A = \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}
determinar seus pontos interiores, seus pontos de acumulação (ou de aderência), seus pontos isolados e seus pontos de fronteira. O conteúdo que vamos usar é topologia básica em \mathbb{R}: definição de aberto, de ponto de acumulação, de ponto isolado e de fronteira.
Passo 2
Interior de A.
Um ponto x\in A é interior se existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A.
Como x\notin\mathbb{N}, podemos escolher \varepsilon menor que a distância do x ao inteiro mais próximo. Assim a vizinhança não atinge nenhum natural, logo fica toda dentro de A.
Isto mostra que todo x\in A é interior, ou seja
\mathrm{Int}(A)=A=\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}.
Passo 3
Pontos de acumulação de A.
Um ponto x é de acumulação se toda vizinhança de x intercepta A em algum ponto diferente de x (quando x\in A), ou simplesmente intercepta A (quando x\notin A).
Se x\notin\mathbb{N}, então x é interior de A e claramente há outros pontos de A arbitrariamente próximos.
Se x\in\mathbb{N}, então x\notin A, mas qualquer intervalo centrado em x contém não-inteiros, que pertencem a A.
Logo qualquer x\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de A, ou seja
\mathrm{Acc}(A)=\overline{A}=\mathbb{R}.
Passo 4
Pontos isolados de A.
Um ponto x\in A é isolado se existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A=\{x\}.
Mas vimos que todo x\in A tem uma vizinhança cheia de outros pontos de A. Não há, portanto, nenhum isolado.
\text{Isolados}(A)=\varnothing.
Passo 5
Pontos de fronteira de A.
A fronteira é \partial A=\overline{A}\setminus\mathrm{Int}(A). Como \overline{A}=\mathbb{R} e \mathrm{Int}(A)=\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}, temos
Alternativamente, em cada n\in\mathbb{N} qualquer vizinhança encontra pontos de A (não-inteiros) e também pontos de \mathbb{N}, caracterizando fronteira.
Resposta
Interior: \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}
Pontos de acumulação: \mathbb{R}
Pontos isolados: \varnothing
Pontos de fronteira: \mathbb{N}