Encontre todos os pontos interiores, pontos de acumulação, pontos isolados e pontos de fronteira de cada um dos conjuntos a seguir. \{0\} \cup\{1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5, \ldots\}
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto
S = \{0\}\cup\{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac14,\dots\}
encontrar
– os pontos interiores,
– os pontos de acumulação,
– os pontos isolados,
– os pontos de fronteira.
O conteúdo aqui é topologia em \mathbb R com a topologia usual. Vamos usar as definições:
– ponto interior: existe um intervalo aberto todo contido em S;
– ponto de acumulação (ou ponto-limite): todo intervalo aberto ao redor dele contém algum ponto de S diferente dele;
– ponto isolado: ponto de S que não é de acumulação;
– ponto de fronteira: todo intervalo aberto ao redor dele intersecta tanto S quanto o complemento de S.
Passo 2
Interior de S. Como S é apenas uma sequência de pontos discretos mais o zero, não há nenhum intervalo aberto não trivial contido em S. Portanto não existe ponto interior em S, isto é,
\text{int}(S)=\varnothing.
Passo 3
Pontos de acumulação de S.
– Para cada ponto \tfrac1n existe um intervalo pequeno ao redor de \tfrac1n que não contém nenhum outro ponto de S, pois os pontos estão isolados entre si.
– Em 0, qualquer intervalo aberto (-\,\varepsilon,\varepsilon) contém pontos da forma \tfrac1n para n suficientemente grande, logo sempre há pontos de S\setminus\{0\}.
Assim o único ponto de acumulação é
\{0\}.
Passo 4
Pontos isolados de S.
Por definição, são os pontos de S que não são de acumulação. Como 0 é de acumulação e todos os \tfrac1n não são, os isolados são
Pontos de fronteira de S.
A fronteira é \overline S\setminus\text{int}(S). Aqui \overline S, o fecho de S, é S\cup\{0\}, mas 0 já está em S, então \overline S=S. Como \text{int}(S)=\varnothing,
\partial S = S\setminus\varnothing = S.
Em outras palavras, todo ponto de S é de fronteira.
Resposta
Interior: \varnothing
Pontos de acumulação: \{0\}
Pontos isolados: \{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac14,\dots\}
Pontos de fronteira: \{0\}\cup\{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\dots\}