Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(b) \operatorname{senh} z=-1

Passo 1

O enunciado pede todos os z\in\mathbb{C} tais que
\operatorname{sinh} z=-1.
Para isso vamos usar a definição
\operatorname{sinh} z=\dfrac{e^z-e^{-z}}{2}
e resolver em e^z, depois aplicar o logaritmo complexo.

Passo 2

Escrevendo
\frac{e^z - e^{-z}}{2} = -1
multiplicamos ambos os lados por 2 e obtemos
e^z - e^{-z} = -2.
Fazendo a substituição w = e^z, temos
w - \frac{1}{w} = -2
e multiplicando por w chega-se ao polinômio
w^2 + 2w - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo w^2+2w-1=0 pela fórmula de Bhaskara,
w = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.
Portanto os dois valores possíveis são
w_1 = -1 + \sqrt{2},\quad w_2 = -1 - \sqrt{2}.

Passo 4

Como w=e^z, cada raiz dá uma família de soluções via logaritmo complexo:
Para w_1 = \sqrt{2}-1>0, o argumento é 0+2\pi k, logo
z = \ln(\sqrt{2}-1) + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Para w_2 = -(1+\sqrt{2}), o módulo é 1+\sqrt{2} e o argumento é \pi+2\pi k, logo
z = \ln(1+\sqrt{2}) + i(\pi + 2\pi k),\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

Todas as soluções são
z = \ln(\sqrt{2}-1) + 2\pi i k \quad\text{ou}\quad z = \ln(1+\sqrt{2}) + i(\pi + 2\pi k), \quad k\in\mathbb{Z}.

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