Encontre todos os valores de a para os quais a matriz C tem inversa.
C=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & a+1 \\ 2 a+1 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede todos os valores de a para os quais a matriz
C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\[6pt] 3 & 1 & a+1 \\[6pt] 2a+1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
é inversível. A teoria diz que uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Logo, vamos calcular \det\text{(C)} e impor \det\text{(C)}\neq0.]

Passo 2

Usamos expansão pela primeira linha. Como os cofatores associados à coluna 2 valem zero por haver entrada zero, só precisamos dos cofatores das colunas 1 e 3:
\det\text{(C)} = 3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & a+1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \;+\;(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2a+1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos cada menor:
O primeiro menor é
\det\begin{pmatrix}1 & a+1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\,(a+1) =1 -2a -2 =-2a -1.
O segundo menor é
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2a+1 & 2\end{pmatrix} =3\cdot2 - (2a+1)\cdot1 =6 -2a -1 =5 -2a.
Substituindo em \det\text{(C)}, temos
\det\text{(C)} =3\,(-2a-1)\;-\;(5-2a) =-6a -3 -5 +2a =-4a -8 =-4\,(a+2).

Passo 4

Para que C seja inversível, exigimos
\det\text{(C)}\neq0 \;\Longrightarrow\; -4\,(a+2)\neq0 \;\Longrightarrow\; a+2\neq0 \;\Longrightarrow\; a\neq -2.

Resposta

Todos os valores reais de a, exceto -2.
Isto é, a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

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