Usando o desenvolvimento em cofatores segundo alguma linha ou coluna bem escolhida, calcule os determinantes das matrizes abaixo. A=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -3 & 7 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right] Passo 1O enunciado pede o cálculo dos determinantes de duas matrizes 4\times4 usando desenvolvimento em cofatores (Laplace). Vamos escolher para cada matriz uma linha ou coluna com mais zeros, de modo a simplificar a expansão. Passo 2Para \det(A) com A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, a terceira linha tem dois zeros. Expandindo ao longo dessa linha: \det(A) = a_{31}C_{31} + a_{34}C_{34} =2\underbrace{\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}}_{M_{31}} +3\,(−1)^{3+4} \underbrace{\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}}_{M_{34}}. Como (-1)^{3+4}=-1, segue \det(A)=2\,\det(M_{31})-3\,\det(M_{34}). Passo 3Calculando os determinantes dos menores 3\times3: \det(M_{31}) =\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} =18, \qquad \det(M_{34}) =\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} =17. Logo \det(A)=2\cdot18 - 3\cdot17 =36-51 = -15. Passo 4Para \det(B) com B=\begin{pmatrix} 3 & -3 & 7 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 & 4\\\\ 5 & 0 & 1 & 3\\\\ 5 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, a segunda coluna tem três zeros. Expandindo ao longo dessa coluna: \det(B) =a_{12}C_{12} =(-3)\,(−1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 5 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} =3\,\det(M_{12}). Passo 5Calculando o menor 3\times3: \det(M_{12}) =\det\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 5 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} =-67, logo \det(B)=3\cdot(-67)=-201. Resposta \det(A)=-15 \det(B)=-201 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUsando o desenvolvimento em cofatores segundo alguma linha ou coluna bem escolhida, calcule os determinantes das matrizes abaixo. A=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -3 & 7 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right] Usando operações elementares com linhas, transforme a matriz A abaixo em uma matriz triangular superior. Em seguida, usando essa matriz triangular, calcule \operatorname{det}(A). A=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -7 \end{array}\right] Encontre todos os valores de a para os quais a matriz C tem inversa. C=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & a+1 \\ 2 a+1 & 2 & 1 \end{array}\right] Encontre todos os valores de a para os quais a matriz C tem inversa. C=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & a+1 \\ 2 a+1 & 2 & 1 \end{array}\right]