Encontre todos os vetores vec{v} ortogonais ao vetor vec{u}=(1,-5) e tal que \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os vetores \vec{v} que satisfazem duas condições simultâneas:
  1. \vec{v} é ortogonal a \vec{u}=(1,-5).
  2. \|\vec{v}\|=\|\vec{u}\|.
Informações dadas:
\vec{u}=(1,-5).
Queremos todos os \vec{v} que obedecem às duas condições acima.

Passo 2

Vamos traduzir as condições para equações matemáticas que podemos resolver. Primeiro, o que significa “ortogonal”?
Definição e fórmula:
  • Dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) são ortogonais se o produto escalar (dot product) for zero:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2=0.
Aqui aplicamos isso a \vec{u} e \vec{v}.
Também precisamos da norma (comprimento) de um vetor:
  • Para \vec{w}=(w_1,w_2),
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}.
Para evitar raízes, é comum trabalhar com o quadrado das normas:
\|\vec{w}\|^2 = w_1^2+w_2^2.
A condição \|\vec{v}\|=\|\vec{u}\| é equivalente a \|\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2.

Passo 3

Escolhemos coordenadas para \vec{v}. Seja
\vec{v}=(x,y).
Agora escrevemos as equações a partir das duas condições.
Ortogonalidade com \vec{u}=(1,-5):
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot x + (-5)\cdot y = x-5y = 0.
Igualdade de normas (usando quadrados):
Primeiro calculemos \|\vec{u}\|^2:
\|\vec{u}\|^2 = 1^2 + (-5)^2 = 1+25 = 26.
A condição \|\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2 vira
x^2+y^2=26.
Portanto temos o sistema
\begin{cases} x-5y=0,\\[4pt] x^2+y^2=26. \end{cases}]

Passo 4

Resolva a equação linear x-5y=0. Isolando x:
x=5y.
Explicação: é uma equação linear simples em x e y; basta somar 5y nos dois lados.

Passo 5

Substituímos x=5y na equação das normas x^2+y^2=26:
(5y)^2 + y^2 = 26.
Calculando os quadrados:
25y^2 + y^2 = 26.
Somando:
26y^2 = 26.
Dividindo por 26:
y^2 = 1.
Portanto
y=\pm 1.
Explicação: y^2=1 tem duas soluções reais, 1 e -1.

Passo 6

Agora encontramos x correspondente a cada y usando x=5y.
  • Se y=1, então x=5, logo \vec{v}=(5,1).
  • Se y=-1, então x=-5, logo \vec{v}=(-5,-1).
Verificação rápida (educativa):
  • Produto escalar com \vec{u}: 1\cdot 5 + (-5)\cdot 1 = 5-5=0 e 1\cdot(-5)+(-5)\cdot(-1)=-5+5=0. Logo são ortogonais.
  • Normas: \| (5,1)\|^2 = 5^2+1^2=25+1=26, igual a \|\vec{u}\|^2. Mesmo para (-5,-1). Então atendem ambas as condições.

Resposta

\vec{v}=(5,1)
\vec{v}=(-5,-1)

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