Encontre todos os vetores
ortogonais ao vetor
e tal que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os vetores
que satisfazem duas condições simultâneas:
-
é ortogonal a . -
.
Informações dadas:
.
Queremos todos os que obedecem às duas condições acima.
Queremos todos os
Passo 2
Vamos traduzir as condições para equações matemáticas que podemos resolver. Primeiro, o que significa “ortogonal”?
Definição e fórmula:
- Dois vetores
e são ortogonais se o produto escalar (dot product) for zero:
Aqui aplicamos isso a
e
.
Também precisamos da norma (comprimento) de um vetor:
- Para
,
Para evitar raízes, é comum trabalhar com o quadrado das normas:
A condição
é equivalente a
.
Passo 3
Escolhemos coordenadas para
. Seja
Agora escrevemos as equações a partir das duas condições.
Ortogonalidade com
:
Igualdade de normas (usando quadrados):
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
A condição
vira
Portanto temos o sistema
Passo 4
Resolva a equação linear
. Isolando
:
Explicação: é uma equação linear simples em
e
; basta somar
nos dois lados.
Passo 5
Substituímos
na equação das normas
:
Calculando os quadrados:
Somando:
Dividindo por
:
Portanto
Explicação:
tem duas soluções reais,
e
.
Passo 6
Agora encontramos
correspondente a cada
usando
.
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Verificação rápida (educativa):
- Produto escalar com
: e . Logo são ortogonais. - Normas:
, igual a . Mesmo para . Então atendem ambas as condições.