Encontre um vetor vec{v} ortogonal ao vetor vec{w}=(5,12) e tal que \|v\|=10.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{w}=(5,12) e pede para encontrar um vetor \vec{v} que satisfaça duas condições:
  1. \vec{v} é ortogonal a \vec{w}.
  2. \|\vec{v}\|=10.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coordenadas de \vec{w}: primeira componente 5 e segunda componente 12.
  • Queremos um vetor \vec{v}=(x,y) (vou usar x e y para as componentes de \vec{v}) que satisfaça as duas condições acima.

Passo 2

Entender o que significa “ortogonal”: dois vetores em \mathbb{R}^2, \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), são ortogonais se e somente se o produto interno (produto escalar) é zero. A fórmula do produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
No nosso caso, para \vec{v}=(x,y) ser ortogonal a \vec{w}=(5,12) precisamos de
\vec{v}\cdot\vec{w}=5x+12y=0.
Aqui x é a primeira componente de \vec{v} e y é a segunda.

Passo 3

Entender a condição da norma: a norma (comprimento) de \vec{v}=(x,y) é
\|\vec{v}\|=\sqrt{x^2+y^2}.
A condição \|\vec{v}\|=10 é equivalente a
x^2+y^2=100.
Agora temos o sistema (uma equação linear de ortogonalidade e uma equação quadrática de norma):
\begin{cases} 5x+12y=0,\\[4pt] x^2+y^2=100. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema de maneira prática. Da equação linear podemos isolar uma variável: por exemplo,
12y=-5x\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{5}{12}x.
Substituímos esse y na equação da norma:
x^2+\left(-\frac{5}{12}x\right)^2=100.
Calcule o quadrado:
x^2+\frac{25}{144}x^2=100.
Some os coeficientes:
x^2\left(1+\frac{25}{144}\right)=100.
Como 1+\frac{25}{144}=\frac{144+25}{144}=\frac{169}{144}, obtemos
x^2\cdot\frac{169}{144}=100.
Isolando x^2:
x^2=100\cdot\frac{144}{169}.
Tirando raiz (lembrando o sinal ±):
x=\pm\frac{10\cdot 12}{13}=\pm\frac{120}{13}.

Passo 5

Agora encontramos y usando y=-\frac{5}{12}x. Para x=\frac{120}{13}:
y=-\frac{5}{12}\cdot\frac{120}{13}=-\frac{5\cdot 10}{13}=-\frac{50}{13}.
Para x=-\frac{120}{13}:
y=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{120}{13}\right)=\frac{50}{13}.
Portanto os dois vetores que satisfazem as condições são
\vec{v}=\left(\frac{120}{13},-\frac{50}{13}\right) \quad\text{e}\quad \vec{v}=\left(-\frac{120}{13},\frac{50}{13}\right).
Verificação rápida (útil na prova): o produto escalar com \vec{w} 5\cdot\frac{120}{13}+12\cdot\left(-\frac{50}{13}\right)=\frac{600-600}{13}=0, e a norma é \sqrt{\left(\frac{120}{13}\right)^2+\left(\frac{50}{13}\right)^2}=\frac{\sqrt{14400+2500}}{13}=\frac{130}{13}=10.
Observação prática (truque que ajuda em prova): um vetor perpendicular a (5,12) é obtido trocando componentes e mudando sinal em uma delas, por exemplo (-12,5). Como \|(-12,5)\|=13, basta escalar por 10/13 para ter norma 10, levando aos mesmos resultados.

Resposta

\vec{v}=\left(\dfrac{120}{13},-\dfrac{50}{13}\right)
\vec{v}=\left(-\dfrac{120}{13},\dfrac{50}{13}\right)

Exercícios relacionados