Encontre um vetor
ortogonal ao vetor
e tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para encontrar um vetor
que satisfaça duas condições:
-
é ortogonal a . -
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coordenadas de
: primeira componente e segunda componente . - Queremos um vetor
(vou usar e para as componentes de ) que satisfaça as duas condições acima.
Passo 2
Entender o que significa “ortogonal”: dois vetores em
,
e
, são ortogonais se e somente se o produto interno (produto escalar) é zero. A fórmula do produto escalar é
No nosso caso, para
ser ortogonal a
precisamos de
Aqui
é a primeira componente de
e
é a segunda.
Passo 3
Entender a condição da norma: a norma (comprimento) de
é
A condição
é equivalente a
Agora temos o sistema (uma equação linear de ortogonalidade e uma equação quadrática de norma):
Passo 4
Resolver o sistema de maneira prática. Da equação linear podemos isolar uma variável: por exemplo,
Substituímos esse
na equação da norma:
Calcule o quadrado:
Some os coeficientes:
Como
, obtemos
Isolando
:
Tirando raiz (lembrando o sinal ±):
Passo 5
Agora encontramos
usando
. Para
:
Para
:
Portanto os dois vetores que satisfazem as condições são
Verificação rápida (útil na prova): o produto escalar com
dá
, e a norma é
.
Observação prática (truque que ajuda em prova): um vetor perpendicular a
é obtido trocando componentes e mudando sinal em uma delas, por exemplo
. Como
, basta escalar por
para ter norma
, levando aos mesmos resultados.