Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathrm{F}=x y \mathrm{i}+y z \mathrm{j}+x z \mathrm{k}
(b) O caminho curvo C_{2}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{\prime} \mathbf{j}+t^{\prime} \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força \mathbf{F}(x,y,z)=x\,y\,\mathbf{i}+y\,z\,\mathbf{j}+x\,z\,\mathbf{k}
ao longo do caminho curvo \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}+t^{3}\,\mathbf{k}, com 0\le t\le1.
O conteúdo é o cálculo de integral de linha de um campo vetorial, usando parametrização e o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Encontramos as componentes em função de t:
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=t^{3}.
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\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(x(t)\,y(t),\,y(t)\,z(t),\,x(t)\,z(t)\bigr) =(t\cdot t^{2},\,t^{2}\cdot t^{3},\,t\cdot t^{3}) =(t^{3},\,t^{5},\,t^{4}).
E
d\mathbf{r}=(x'(t),y'(t),z'(t))\,dt =(1,\,2t,\,3t^{2})\,dt.

Passo 3

Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r} =(t^{3},\,t^{5},\,t^{4})\cdot(1,\,2t,\,3t^{2})\,dt =t^{3}\cdot1 + t^{5}\cdot(2t) + t^{4}\cdot(3t^{2})\,dt =t^{3} + 2t^{6} + 3t^{6}\,dt =t^{3} + 5t^{6}\,dt.

Passo 4

Integramos de t=0 a t=1:
W=\int_{0}^{1}\bigl(t^{3}+5t^{6}\bigr)\,dt =\left[\frac{t^{4}}{4} + \frac{5\,t^{7}}{7}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4} + \frac{5}{7} =\frac{7}{28} + \frac{20}{28} =\frac{27}{28}.

Resposta

O trabalho realizado ao longo de C_{2} é \displaystyle \frac{27}{28}.

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