Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathrm{F}=x y \mathrm{i}+y z \mathrm{j}+x z \mathrm{k}
(c) O caminho C_{3} \cup C_{4} que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo segmento de (1,1,0) até (1, 1, 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho da força \mathbf{F}(x,y,z)=x y\,\mathbf{i}+y z\,\mathbf{j}+x z\,\mathbf{k}
ao longo do caminho C_3\cup C_4, onde
C_3 é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0),
C_4 é o segmento de reta de (1,1,0) a (1,1,1).
Usamos a definição de trabalho como integral de linha:
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
parametrizando cada trecho e somando as contribuições.

Passo 2

Parametrize C_3 por
\mathbf{r}_3(t)=(t,\;t,\;0),\quad t\in[0,1],
então
d\mathbf{r}_3=(1,1,0)\,dt, \qquad \mathbf{F}(\mathbf{r}_3(t))=(t^2,0,0).
Dessa forma
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}_3 = (t^2,0,0)\cdot(1,1,0)\,dt = t^2\,dt,
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W_3=\int_{C_3}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}_3 =\int_{0}^{1}t^2\,dt =\frac{1}{3}.

Passo 3

Parametrize C_4 por
\mathbf{r}_4(s)=(1,\;1,\;s),\quad s\in[0,1],
então
d\mathbf{r}_4=(0,0,1)\,ds, \qquad \mathbf{F}(\mathbf{r}_4(s))=(1,s,s).
Assim
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}_4 =(1,s,s)\cdot(0,0,1)\,ds = s\,ds,
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W_4=\int_{C_4}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}_4 =\int_{0}^{1}s\,ds =\frac{1}{2}.

Passo 4

O trabalho total é
W=W_3+W_4 =\frac{1}{3}+\frac{1}{2} =\frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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