Encontre a transformada de Fourier das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função
definida por:
Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função
:
onde
é a frequência angular e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Observando a definição de
, vemos que ela é igual a
para
e zero para
. Isso significa que podemos reescrever a integral limitada apenas a
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Essa é uma integral exponencial básica. A integral de
de 0 a
é
, desde que a parte real de
seja positiva, o que é o caso aqui (
).
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: