Encontre a transformada de Fourier de f(x) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}e^{k x} & \text { se } x<0 & (k>0) \\\\ 0 & \text { se } x>0 & \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier de f(x)\), onde \[f(x)=\begin{cases} e^{k x}, & x<0,\; (k>0),\\[4pt] 0, & x>0. \end{cases}
Vamos usar a convenção padrão de transformada de Fourier
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função é exponencial à esquerda do zero e nula à direita.
  • O parâmetro k\] é positivo, \(k>0.
  • O valor de f em x=0 não foi especificado; isso não altera a transformada (um ponto isolado não muda a integral).]

Passo 2

Como f(x)=0 para x>0, a integral sobre toda a reta se reduz à integral sobre (-\infty,0]. Portanto
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{0} e^{k x}\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 3

Juntando os expoentes usando e^{a}e^{b}=e^{a+b}, o integrando fica
e^{k x}\,e^{-i\omega x}=e^{(k-i\omega)x}.
Assim
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{0} e^{(k-i\omega)x}\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral imprópria, escrevemos como limite:
\hat f(\omega)=\lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{0} e^{(k-i\omega)x}\,dx.
Usamos a primitiva de e^{ax}, que é \dfrac{e^{ax}}{a} quando a\neq0. Aqui a=k-i\omega, que não é zero porque k>0. Assim
\int_{A}^{0} e^{(k-i\omega)x}\,dx=\left[\frac{e^{(k-i\omega)x}}{k-i\omega}\right]_{x=A}^{x=0} =\frac{1}{k-i\omega}\bigl(1-e^{(k-i\omega)A}\bigr).
Agora analisamos o termo e^{(k-i\omega)A} quando A\to -\infty. A parte real do expoente é kA e, como k>0 e A\to -\infty, tem-se kA\to -\infty, logo e^{(k-i\omega)A}\to 0. Portanto o limite existe e vale
\hat f(\omega)=\frac{1}{k-i\omega}.
Aqui usamos explicitamente a condição k>0 para garantir convergência da integral no limite A\to -\infty.

Passo 5

É útil escrever a resposta numa forma com denominador real. Multiplicando numerador e denominador por k+i\omega obtemos
\frac{1}{k-i\omega}=\frac{k+i\omega}{(k-i\omega)(k+i\omega)}=\frac{k+i\omega}{k^{2}+\omega^{2}}.
Assim a transformada pode ser apresentada nas duas formas equivalentes. Em particular, essa expressão mostra que para todo \omega\in\mathbb{R} a transformada é bem definida (denominador k^{2}+\omega^{2}>0).

Resposta

\hat f(\omega)=\frac{1}{k-i\omega}=\frac{k+i\omega}{k^{2}+\omega^{2}}.

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