Encontre a transformada de Fourier de f(x) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}e^{k x} & \text { se } x<0 & (k>0) \\\\ 0 & \text { se } x>0 & \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier de f(x)\), onde
\[f(x)=\begin{cases} e^{k x}, & x<0,\; (k>0),\\[4pt] 0, & x>0. \end{cases}
Vamos usar a convenção padrão de transformada de Fourier
Agora analisamos o termo e^{(k-i\omega)A} quando A\to -\infty. A parte real do expoente é kA e, como k>0 e A\to -\infty, tem-se kA\to -\infty, logo e^{(k-i\omega)A}\to 0. Portanto o limite existe e vale
\hat f(\omega)=\frac{1}{k-i\omega}.
Aqui usamos explicitamente a condição k>0 para garantir convergência da integral no limite A\to -\infty.
Passo 5
É útil escrever a resposta numa forma com denominador real. Multiplicando numerador e denominador por k+i\omega obtemos
Assim a transformada pode ser apresentada nas duas formas equivalentes. Em particular, essa expressão mostra que para todo \omega\in\mathbb{R} a transformada é bem definida (denominador k^{2}+\omega^{2}>0).