Encontre a transformada de Fourier de f(x) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. f(x)=\left\{\begin{aligned} e^{2 i x} & \text { se }-1<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier de f(x).
Não há outras informações adicionais no enunciado (por exemplo, nenhuma convenção de transformada foi indicada), então vou usar uma convenção padrão na próxima etapa.]
Passo 2
Definição escolhida e por quê.
Vou usar a seguinte definição padrão da transformada de Fourier (sem fatores 2\pi):
\mathcal{F}\{f\}(k)=\hat f(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i k x}\,dx.
Explicação didática:
Aqui \hat f(k) é a transformada de f avaliada na frequência k.
A integral combina f(x) com o oscilador exponencial e^{-i k x}; é como decompor f em frequências.
A variável x é a variável original (tempo, posição, etc.) e k é a variável de frequência (número angular de onda).
Escolhi essa convenção porque é a mais comum em cursos de análise/fourier sem fatores 2\pi; se a sua prova usar outra convenção com 2\pi, basta ajustar multiplicativamente no fim.
Passo 3
Redução da integral ao suporte de f.
Como f(x)=0 fora do intervalo (-1,1), podemos limitar a integral a esse intervalo:
\hat f(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i k x}\,dx =\int_{-1}^{1} e^{2 i x}\,e^{-i k x}\,dx.
Aqui apenas usei que fora de (-1,1) o integrando é zero, então não contribui.
Passo 4
Combinar exponenciais e escrever integrando numa forma simples.
Juntando os expoentes:
e^{2 i x}\,e^{-i k x}=e^{i(2-k)x}.
Logo
\hat f(k)=\int_{-1}^{1} e^{i(2-k)x}\,dx.
Comentário didático: somar expoentes é uma operação direta porque e^{a}e^{b}=e^{a+b}. A integral de uma exponencial complexa é análoga à integral de e^{ax} real.
Passo 5
Calcular a integral para k\neq 2.
A primitiva de e^{i\alpha x} (onde \alpha é constante) é \dfrac{e^{i\alpha x}}{i\alpha}, porque derivando obtemos i\alpha que cancela. Tomando \alpha=2-k obtemos, para k\neq 2,
Explicação: a razão simplifica o i e deixa uma forma real; essa expressão é bem conhecida como uma forma de função sinc deslocada.
Passo 6
Caso especial k=2 — continuidade e valor pelo limite.
A expressão \dfrac{2\sin(2-k)}{2-k} tem aparentemente uma indeterminação \tfrac{0}{0} quando k=2. Calculamos o limite quando k\to 2. Faça a substituição t=2-k, então t\to 0 quando k\to 2:
porque \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Alternativamente, pode-se aplicar L’Hôpital, dá o mesmo resultado. Portanto a transformada é contínua em k=2 com valor 2.
Passo 7
Interpretação final e forma bonita.
Podemos então escrever a transformada de forma unificada como a função contínua
\hat f(k)=\frac{2\sin(2-k)}{2-k},
entendendo que no ponto k=2 esse quociente vale 2 por continuidade. Observação: embora f seja complexa (tem e^{2ix}), a transformada resultou numa função real (essa cancelação é consequência da simetria do intervalo (-1,1)).
Resposta
\displaystyle \hat f(k)=\frac{2\sin(2-k)}{2-k} para k\neq 2.\n\displaystyle \hat f(2)=2