Encontre a Transformada Inversa de Laplace das funções de transferência abaixo:
X(s)=\frac{s^{2}+2 s+3}{(s+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada inversa de Laplace da função de transferência
X(s)=\frac{s^{2}+2 s+3}{(s+1)^{3}}.
Informações dadas:
  • A função racional X(s) está escrita em termos de s com polo em s=-1 de ordem 3.
  • Objetivo: calcular x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}, a função no domínio do tempo (assumindo t\ge0).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão trabalhando com a mudança u=s+1 (isso facilita manipular potências de s+1). Faço a mudança e expando o numerador passo a passo:
s = u-1.
Substituindo em s^{2}+2s+3:
s^{2}+2s+3=(u-1)^{2}+2(u-1)+3.
Agora desenvolvo os termos:
(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1,
2(u-1)=2u-2.
Somando tudo:
u^{2}-2u+1 + 2u-2 + 3 = u^{2} + ( -2u + 2u) + (1-2+3) = u^{2} + 2.
Logo o numerador vira u^{2}+2 e o denominador é u^{3}. Portanto, em termos de u,
X(s)=\frac{u^{2}+2}{u^{3}}.

Passo 3

Divido o numerador pelo denominador em termos de u:
\frac{u^{2}+2}{u^{3}}=\frac{u^{2}}{u^{3}}+\frac{2}{u^{3}}=\frac{1}{u}+\frac{2}{u^{3}}.
Voltando à variável s (lembrando u=s+1), obtém-se a decomposição simples:
X(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{2}{(s+1)^{3}}.

Passo 4

Agora usamos fórmulas padrão de transformada de Laplace inversa. Lembrete (fórmulas e significado das variáveis):
  • Para um deslocamento a e potência inteira, vale
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
ou invertendo,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aqui a é a constante do expoente no tempo e s é a variável do domínio complexo.
  • Fórmula geral para potências: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n}e^{at}}{n!}.
No nosso caso, o deslocamento é a=-1 (porque os termos são em s+1=s-(-1)).

Passo 5

Aplico as fórmulas termo a termo.
Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},
pois aqui a=-1.
Para o segundo termo, uso a fórmula com n+1=3\Rightarrow n=2:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}e^{-t}}{2!}=\frac{t^{2}e^{-t}}{2}.
Multiplicando pelo coeficiente 2 do termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+1)^{3}}\right\}=2\cdot\frac{t^{2}e^{-t}}{2}=t^{2}e^{-t}.

Passo 6

Somando as inversas dos dois termos (linearidade da transformada inversa):
x(t)=e^{-t}+t^{2}e^{-t}=e^{-t}\bigl(1+t^{2}\bigr), \qquad t\ge0.

Resposta

x(t)=e^{-t}\bigl(1+t^{2}\bigr)

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