Encontre a Transformada Inversa de Laplace das funções de transferência abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada inversa de Laplace da função de transferência
Informações dadas:
- A função racional
está escrita em termos de com polo em de ordem . - Objetivo: calcular
, a função no domínio do tempo (assumindo ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão trabalhando com a mudança
(isso facilita manipular potências de
). Faço a mudança e expando o numerador passo a passo:
Substituindo em
:
Agora desenvolvo os termos:
Somando tudo:
Logo o numerador vira
e o denominador é
. Portanto, em termos de
,
Passo 3
Divido o numerador pelo denominador em termos de
:
Voltando à variável
(lembrando
), obtém-se a decomposição simples:
Passo 4
Agora usamos fórmulas padrão de transformada de Laplace inversa. Lembrete (fórmulas e significado das variáveis):
- Para um deslocamento
e potência inteira, vale
ou invertendo,
Aqui
é a constante do expoente no tempo e
é a variável do domínio complexo.
- Fórmula geral para potências: para inteiro
,
portanto
No nosso caso, o deslocamento é
(porque os termos são em
).
Passo 5
Aplico as fórmulas termo a termo.
Para o primeiro termo:
pois aqui
.
Para o segundo termo, uso a fórmula com
:
Multiplicando pelo coeficiente
do termo:
Passo 6
Somando as inversas dos dois termos (linearidade da transformada inversa):