Encontre a Transformada Inversa de Laplace das funções de transferência abaixo:
X(s)=\frac{400}{s^{2}+8 s+40}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência no domínio de Laplace
X(s)=\frac{400}{s^{2}+8 s+40}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: 400.
  • Denominador: s^{2}+8s+40.
  • Objetivo: obter x(t) explícita em função do tempo t.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever o denominador completando o quadrado para identificarmos uma forma padrão que conhecemos da tabela de transformadas inversas. Vou completar o quadrado de s^{2}+8s+40.

Passo 3

Completar o quadrado:
s^{2}+8s+40 = (s^{2}+8s+16)+24 = (s+4)^{2}+24.
Portanto podemos reescrever X(s) como
X(s)=\frac{400}{(s+4)^{2}+24}.

Passo 4

Agora identificamos a constante sob o quadrado como um quadrado de uma frequência \omega. Definimos
\omega = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.
Assim o denominador é (s+4)^{2}+\omega^{2} com \omega=2\sqrt{6}.

Passo 5

Lembrete das transformadas de Laplace usuais (essas são ferramentas que sempre aparecem na prova; aqui explico o que cada símbolo significa):
  • Se f(t)=e^{at}\cos(\omega t) então
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(\omega t)\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}.
  • Se f(t)=e^{at}\sin(\omega t) então
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • a é a taxa de decaimento/exponencial (se a<0 dá decaimento).
  • \omega é a frequência angular da senoide.
  • s é a variável do domínio de Laplace.
    Essas fórmulas são cruciais: ao reconhecer uma expressão da forma (s-a)^{2}+\omega^{2} no denominador, os numeradores padronizados são (s-a) para o cosseno e \omega para o seno.

Passo 6

Comparando com as fórmulas, temos a=-4 (porque nosso termo é s+4=(s-(-4))) e \omega=2\sqrt{6}. Nosso X(s) é
X(s)=\frac{400}{(s+4)^{2}+\omega^{2}}.
Queremos escrever X(s) como combinação das formas \dfrac{s+4}{(s+4)^{2}+\omega^{2}} e \dfrac{\omega}{(s+4)^{2}+\omega^{2}}, porque conhecemos as inversas dessas duas frações. Ou seja, buscamos constantes A e B tais que
\frac{400}{(s+4)^{2}+\omega^{2}} = A\cdot\frac{s+4}{(s+4)^{2}+\omega^{2}} + B\cdot\frac{\omega}{(s+4)^{2}+\omega^{2}}.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador obtemos a igualdade de numeradores:
400 = A(s+4) + B\omega.
Essa igualdade deve valer para todo s. Assim o coeficiente de s no lado direito deve ser zero (pois o lado esquerdo é constante), o que implica A=0. Portanto
400 = B\omega \quad\Rightarrow\quad B = \frac{400}{\omega}.

Passo 7

Substituindo A=0 e B=400/\omega na decomposição, obtemos
X(s) = \frac{400}{\omega}\cdot\frac{\omega}{(s+4)^{2}+\omega^{2}}.
Aplicando a transformada inversa (uso a fórmula \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}\} = e^{at}\sin(\omega t), lembrando que aqui a=-4), temos
x(t) = \frac{400}{\omega}\,e^{-4t}\sin(\omega t),\qquad t\ge 0.
Substituindo \omega=2\sqrt{6},
x(t) = \frac{400}{2\sqrt{6}}\,e^{-4t}\sin\bigl(2\sqrt{6}\,t\bigr).
Podemos simplificar a constante:
\frac{400}{2\sqrt{6}}=\frac{200}{\sqrt{6}}=\frac{200\sqrt{6}}{6}=\frac{100\sqrt{6}}{3}.
Logo a forma final mais limpa é
x(t)=\frac{100\sqrt{6}}{3}\,e^{-4t}\sin\bigl(2\sqrt{6}\,t\bigr),\qquad t\ge 0.

Passo 8

Resumo didático e dica para a prova: o passo-chave é completar o quadrado no denominador para reconhecer a forma (s-a)^{2}+\omega^{2}. Depois, se o numerador for constante como aqui, normalmente ele corresponde à parte do seno (pois o numerador do cosseno contém s-a). A rotina é: completar quadrado → identificar a e \omega → decompor em combinações das formas padrão → aplicar linearidade e as transformadas inversas conhecidas. Respira fundo e faz isso passo a passo que sai tranquilo.

Resposta

x(t)=\frac{100\sqrt{6}}{3}\,e^{-4t}\sin\bigl(2\sqrt{6}\,t\bigr),\qquad t\ge 0.

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