Encontre a Transformada Inversa de Laplace das funções de transferência abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência no domínio de Laplace
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Objetivo: obter
explícita em função do tempo .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever o denominador completando o quadrado para identificarmos uma forma padrão que conhecemos da tabela de transformadas inversas. Vou completar o quadrado de
.
Passo 3
Completar o quadrado:
Portanto podemos reescrever
como
Passo 4
Agora identificamos a constante sob o quadrado como um quadrado de uma frequência
. Definimos
Assim o denominador é
com
.
Passo 5
Lembrete das transformadas de Laplace usuais (essas são ferramentas que sempre aparecem na prova; aqui explico o que cada símbolo significa):
- Se
então
- Se
então
Explicando as variáveis:
-
é a taxa de decaimento/exponencial (se dá decaimento). -
é a frequência angular da senoide. -
é a variável do domínio de Laplace.
Essas fórmulas são cruciais: ao reconhecer uma expressão da formano denominador, os numeradores padronizados são para o cosseno e para o seno.
Passo 6
Comparando com as fórmulas, temos
(porque nosso termo é
) e
. Nosso
é
Queremos escrever
como combinação das formas
e
, porque conhecemos as inversas dessas duas frações. Ou seja, buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados pelo denominador obtemos a igualdade de numeradores:
Essa igualdade deve valer para todo
. Assim o coeficiente de
no lado direito deve ser zero (pois o lado esquerdo é constante), o que implica
. Portanto
Passo 7
Substituindo
e
na decomposição, obtemos
Aplicando a transformada inversa (uso a fórmula
, lembrando que aqui
), temos
Substituindo
,
Podemos simplificar a constante:
Logo a forma final mais limpa é
Passo 8
Resumo didático e dica para a prova: o passo-chave é completar o quadrado no denominador para reconhecer a forma
. Depois, se o numerador for constante como aqui, normalmente ele corresponde à parte do seno (pois o numerador do cosseno contém
). A rotina é: completar quadrado → identificar
e
→ decompor em combinações das formas padrão → aplicar linearidade e as transformadas inversas conhecidas. Respira fundo e faz isso passo a passo que sai tranquilo.