Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência H(s). Considere as condições iniciais nulas.
\left(D^{3}+3 D^{2}+5 D+1\right) y(t)=\left(D^{3}+4 D^{+} 6 D+1\right) x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com derivadas em D (onde D significa d/dt) e pede que se determine a Transformada de Laplace da equação e, em seguida, a função de transferência H(s). As informações fornecidas são:
  • Equação dada:
\left(D^{3}+3 D^{2}+5 D+1\right) y(t)=\left(D^{3}+4 D^{+} 6 D+1\right) x(t).
  • Condições iniciais nulas (ou seja, todas as condições iniciais de y e de suas derivadas valem zero).
    Observação sobre o enunciado: há um pequeno provável erro tipográfico no lado direito: aparece \,4 D^{+} 6 D. Vou interpretar isso como \,4 D^{2}+6 D. Assim a equação que vou usar é:
\left(D^{3}+3 D^{2}+5 D+1\right) y(t)=\left(D^{3}+4 D^{2}+6 D+1\right) x(t).
O que se pede explicitamente:
  • Encontrar a Transformada de Laplace da equação diferencial (i.e., escrever a relação entre Y(s) e X(s)).
  • Determinar a função de transferência H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}.

Passo 2

O que é a Transformada de Laplace e a propriedade de derivadas (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Definição: a Transformada de Laplace de uma função causal f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa ( s=\sigma + j\omega). Denotamos \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s).
  • Propriedade para derivadas (fórmula e interpretação): para y(t) suficientemente regular,
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e, de modo geral, para a derivada de ordem n,
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Essas fórmulas vêm de integração por partes repetida; o ponto importante para nós é o termo s^{n}Y(s) que aparece sempre multiplicando Y(s).
  • Simplificação com condições iniciais nulas: como o enunciado diz para considerar condições iniciais nulas, temos y(0)=y'(0)=\cdots =0. Logo, para cada derivada,
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s).
O mesmo vale para x(t) e suas derivadas quando estivermos transformando o lado direito: \mathcal{L}\{x^{(n)}(t)\}=s^{n}X(s) (com condições iniciais de x também nulas, conforme o enunciado).

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace à equação dada termo a termo, usando a propriedade acima e as condições iniciais nulas.
  • Denotamos \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e \mathcal{L}\{x(t)\}=X(s).
  • Transformando cada termo do lado esquerdo:
\mathcal{L}\{D^{3}y\}=s^{3}Y(s),\qquad \mathcal{L}\{3D^{2}y\}=3s^{2}Y(s),
\mathcal{L}\{5Dy\}=5sY(s),\qquad \mathcal{L}\{1\cdot y\}=1\cdot Y(s).
Somando-os,
\mathcal{L}\{(D^{3}+3D^{2}+5D+1)y(t)\}=(s^{3}+3s^{2}+5s+1)\,Y(s).
  • Transformando cada termo do lado direito (assumindo o ajuste mencionado \,4D^{2}):
\mathcal{L}\{D^{3}x\}=s^{3}X(s),\qquad \mathcal{L}\{4D^{2}x\}=4s^{2}X(s),
\mathcal{L}\{6Dx\}=6sX(s),\qquad \mathcal{L}\{1\cdot x\}=1\cdot X(s).
Somando-os,
\mathcal{L}\{(D^{3}+4D^{2}+6D+1)x(t)\}=(s^{3}+4s^{2}+6s+1)\,X(s).
  • Portanto, a equação no domínio de Laplace é:
(s^{3}+3s^{2}+5s+1)\,Y(s)=(s^{3}+4s^{2}+6s+1)\,X(s).

Passo 4

Isolar a razão Y(s)/X(s) para obter a função de transferência H(s).
  • Dividindo ambos os lados por (s^{3}+3s^{2}+5s+1) e por X(s) (assumindo X(s)\neq0) obtemos:
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+1}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}.
  • Definição: essa razão é a função de transferência do sistema linear e invariante no tempo sob condições iniciais nulas:
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+1}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}.
  • Observação prática: se existirem fatores comuns algébricos entre numerador e denominador, pode-se simplificar; aqui não se vê um cancelamento imediato óbvio. Para análises (pólos, zeros, resposta), pode-se fatorar numericamente ou simbolicamente se necessário.

Passo 5

Resumo conceitual rápido (como usar isso na prova):
  • Passo a passo para semelhantes exercícios na prova:
    1. Identifique a equação diferencial e escreva-a com D^{n} se já estiver nessa forma.
    2. Anote que \mathcal{L}\{D^{n}f(t)\}=s^{n}F(s) quando as condições iniciais forem nulas — isso evita termos extras.
    3. Aplique a Transformada de Laplace termo a termo, agrupando fatores em Y(s) (lado esquerdo) e X(s) (lado direito).
    4. Isolar Y(s) sobre X(s) para obter H(s).
  • Dica prática: escreva e identifique rápido o polinômio multiplicando Y(s) e o multiplicando X(s); isso costuma ser a parte mecânica da questão.

Resposta

(s^{3}+3s^{2}+5s+1)\,Y(s)=(s^{3}+4s^{2}+6s+1)\,X(s)
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+1}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}

Exercícios relacionados