Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência
. Considere as condições iniciais nulas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear com derivadas em
(onde
significa
) e pede que se determine a Transformada de Laplace da equação e, em seguida, a função de transferência
. As informações fornecidas são:
- Equação dada:
- Condições iniciais nulas (ou seja, todas as condições iniciais de
e de suas derivadas valem zero).
Observação sobre o enunciado: há um pequeno provável erro tipográfico no lado direito: aparece. Vou interpretar isso como . Assim a equação que vou usar é:
O que se pede explicitamente:
- Encontrar a Transformada de Laplace da equação diferencial (i.e., escrever a relação entre
e ). - Determinar a função de transferência
.
Passo 2
O que é a Transformada de Laplace e a propriedade de derivadas (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Definição: a Transformada de Laplace de uma função causal
é
onde
é a variável complexa (
). Denotamos
e
.
- Propriedade para derivadas (fórmula e interpretação): para
suficientemente regular,
e, de modo geral, para a derivada de ordem
,
Essas fórmulas vêm de integração por partes repetida; o ponto importante para nós é o termo
que aparece sempre multiplicando
.
- Simplificação com condições iniciais nulas: como o enunciado diz para considerar condições iniciais nulas, temos
. Logo, para cada derivada,
O mesmo vale para
e suas derivadas quando estivermos transformando o lado direito:
(com condições iniciais de
também nulas, conforme o enunciado).
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace à equação dada termo a termo, usando a propriedade acima e as condições iniciais nulas.
- Denotamos
e . - Transformando cada termo do lado esquerdo:
Somando-os,
- Transformando cada termo do lado direito (assumindo o ajuste mencionado
):
Somando-os,
- Portanto, a equação no domínio de Laplace é:
Passo 4
Isolar a razão
para obter a função de transferência
.
- Dividindo ambos os lados por
e por (assumindo ) obtemos:
- Definição: essa razão é a função de transferência do sistema linear e invariante no tempo sob condições iniciais nulas:
- Observação prática: se existirem fatores comuns algébricos entre numerador e denominador, pode-se simplificar; aqui não se vê um cancelamento imediato óbvio. Para análises (pólos, zeros, resposta), pode-se fatorar numericamente ou simbolicamente se necessário.
Passo 5
Resumo conceitual rápido (como usar isso na prova):
- Passo a passo para semelhantes exercícios na prova:
- Identifique a equação diferencial e escreva-a com
se já estiver nessa forma. - Anote que
quando as condições iniciais forem nulas — isso evita termos extras. - Aplique a Transformada de Laplace termo a termo, agrupando fatores em
(lado esquerdo) e (lado direito). - Isolar
sobre para obter .
- Identifique a equação diferencial e escreva-a com
- Dica prática: escreva e identifique rápido o polinômio multiplicando
e o multiplicando ; isso costuma ser a parte mecânica da questão.