Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência H(s). Considere as condições iniciais nulas.
\left(D^{3}+3 D^{2}+5 D+1\right) y(t)=\left(D^{3}+4 D^{2}+6 D+1\right) x(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(D^{3}+3 D^{2}+5 D+1\right) y(t)=\left(D^{3}+4 D^{2}+6 D+1\right) x(t)
com condições iniciais nulas. O que se pede:
  • encontrar a transformada de Laplace (isto é, escrever a equação no domínio de s);
  • consequentemente, encontrar a função de transferência H(s), definida como a razão entre a saída e a entrada no domínio de Laplace com condições iniciais nulas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial linear relaciona y(t) (saída) e x(t) (entrada) por polinômios em D=\dfrac{d}{dt}.
  • As condições iniciais são nulas (todos os derivados de y e de x em t=0^+ são zero).
  • Precisamos expressar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e obter H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}.

Passo 2

Breve lembrete (fórmulas que vou usar) sobre a transformada de Laplace de derivadas e notação:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Denotar F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
  • Para derivadas, vale (para n inteiro positivo)
\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots - f^{(n-1)}(0).
  • Como as condições iniciais são nulas (isto é, y(0)=y'(0)=y''(0)=0 e idem para x conforme necessário), as transformadas de derivadas simplificam para
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s), \qquad \mathcal{L}\{x^{(n)}(t)\}=s^{n}X(s).
  • Interpretando D^{k}y(t) como y^{(k)}(t), cada termo do operador polinomial em D se transforma substituindo D por s quando as condições iniciais são zero.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação usando linearidade e a propriedade de derivadas com CI nulas.
No lado esquerdo:
\mathcal{L}\{(D^{3}+3D^{2}+5D+1)y(t)\} = (s^{3}+3s^{2}+5s+1)Y(s).
No lado direito:
\mathcal{L}\{(D^{3}+4D^{2}+6D+1)x(t)\} = (s^{3}+4s^{2}+6s+1)X(s).
Portanto a equação transformada é
(s^{3}+3s^{2}+5s+1)\,Y(s)=(s^{3}+4s^{2}+6s+1)\,X(s).

Passo 4

Isolar Y(s) em função de X(s). Basta dividir ambos os lados pelo polinômio multiplicando Y(s):
Y(s)=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+1}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}\;X(s).
Aqui Y(s) e X(s) são as transformadas de Laplace de y(t) e x(t), respectivamente.

Passo 5

Definir a função de transferência H(s) para um sistema linear e invariante no tempo com condições iniciais nulas:
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}.
Usando a expressão encontrada no Passo 4, obtemos imediatamente
H(s)=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+1}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}.
Uma observação útil (intuitiva): como os polinômios do numerador e denominador têm o mesmo grau, o ganho em alta frequência tende a 1; isso decorre de comparar os coeficientes líderes de s^{3}.

Resposta

(s^{3}+3s^{2}+5s+1)\,Y(s)=(s^{3}+4s^{2}+6s+1)\,X(s)\n
H(s)=\dfrac{s^{3}+4s^{2}+6s+1}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}

Exercícios relacionados