Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência
. Considere as condições iniciais nulas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condições iniciais nulas. O que se pede:
- encontrar a transformada de Laplace (isto é, escrever a equação no domínio de
); - consequentemente, encontrar a função de transferência
, definida como a razão entre a saída e a entrada no domínio de Laplace com condições iniciais nulas.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial linear relaciona
(saída) e (entrada) por polinômios em . - As condições iniciais são nulas (todos os derivados de
e de em são zero). - Precisamos expressar
e e obter .
Passo 2
Breve lembrete (fórmulas que vou usar) sobre a transformada de Laplace de derivadas e notação:
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
- Denotar
. - Para derivadas, vale (para
inteiro positivo)
- Como as condições iniciais são nulas (isto é,
e idem para conforme necessário), as transformadas de derivadas simplificam para
- Interpretando
como , cada termo do operador polinomial em se transforma substituindo por quando as condições iniciais são zero.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação usando linearidade e a propriedade de derivadas com CI nulas.
No lado esquerdo:
No lado direito:
Portanto a equação transformada é
Passo 4
Isolar
em função de
. Basta dividir ambos os lados pelo polinômio multiplicando
:
Aqui
e
são as transformadas de Laplace de
e
, respectivamente.
Passo 5
Definir a função de transferência
para um sistema linear e invariante no tempo com condições iniciais nulas:
Usando a expressão encontrada no Passo 4, obtemos imediatamente
Uma observação útil (intuitiva): como os polinômios do numerador e denominador têm o mesmo grau, o ganho em alta frequência tende a
; isso decorre de comparar os coeficientes líderes de
.