(Problema 12, pg. 459) Considere o sistema
\frac{d x}{d t}=x(a-\sigma x-\alpha y), \quad \frac{d y}{d t}=y(-c+\gamma x),
em que a, \sigma, \alpha, c e \gamma são constantes positivas.
(a) Encontre todos os pontos críticos do sistema dado. Como variam suas localizações quando \sigma aumenta a partir de zero? Suponha que a / \sigma>c / \gamma, ou seja, \sigma<a \gamma / c. Por que essa hipótese é necessária?
(b) Determine a natureza e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico.
(c) Mostre que existe um valor de \sigma entre zero e a \gamma / c onde o ponto crítico no interior do primeiro quadrante muda de um espiral para um nó.
(d) Descreva o efeito das duas populações quando \sigma varia de zero a a \gamma / c.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\frac{d x}{d t}=x(a-\sigma x-\alpha y),\qquad \frac{d y}{d t}=y(-c+\gamma x),
com a,\sigma,\alpha,c,\gamma>0. O que é pedido:
(a) Encontrar todos os pontos críticos (equilíbrios) e descrever como suas posições mudam quando \sigma aumenta desde zero. O enunciado sugere a hipótese \dfrac{a}{\sigma}> \dfrac{c}{\gamma}, ou seja \sigma<\dfrac{a\gamma}{c}; devo explicar por que essa hipótese é necessária.
(b) Determinar a natureza (nó, sela, espiral, etc.) e a estabilidade de cada ponto crítico.
(c) Mostrar que existe um valor de \sigma entre 0 e a\gamma/c em que o equilíbrio interior do primeiro quadrante muda de espiral para nó.
(d) Descrever qualitativamente o efeito sobre as duas populações quando \sigma varia de 0 até a\gamma/c.
As informações relevantes dadas: parâmetros positivos e o sistema acima. A solução começará encontrando os equilíbrios (sem resolver nada ainda neste passo).

Passo 2

Encontrar os pontos críticos é resolver
x(a-\sigma x-\alpha y)=0,\qquad y(-c+\gamma x)=0.
Essas duas equações se anulam se, para cada componente, ou o fator exterior for zero ou o fator entre parênteses for zero.
Casos possíveis:
  1. x=0 e y=0. Então obtemos o equilíbrio
E_0=(0,0).
  1. x=0 e -c+\gamma x= -c \neq 0, então y deve ser 0 para zerar x(a-\sigma x-\alpha y). Já incluido em E_0.
  2. y=0 e x\neq0. Então da primeira equação temos a-\sigma x=0, ou seja
x=\frac{a}{\sigma}.
Isso dá o equilíbrio do eixo x
E_1=\Big(\frac{a}{\sigma},\,0\Big).
  1. Para um equilíbrio com x\neq0 e y\neq0, precisa-se de
a-\sigma x-\alpha y=0,\qquad -c+\gamma x=0.
Da segunda obtemos
x^*=\frac{c}{\gamma}.
Substituindo na primeira:
\alpha y^*=a-\sigma x^*=a-\sigma\frac{c}{\gamma}.
Portanto
y^*=\frac{a-\sigma c/\gamma}{\alpha}.
Isso fornece o equilíbrio interior
E_2=\Big(\frac{c}{\gamma},\;\frac{a-\sigma c/\gamma}{\alpha}\Big).
Para que E_2 esteja no primeiro quadrante (ambas coordenadas positivas) é necessário a-\sigma c/\gamma>0, i.e.
\sigma<\frac{a\gamma}{c}.
Essa é justamente a hipótese mencionada: sem ela y^*\le0 e não há equilíbrio interior positivo. Portanto a hipótese é necessária para que exista coexistência positiva de ambas as populações.
Como variam as localizações quando \sigma aumenta a partir de zero?
  • E_0 é fixo em (0,0).
  • E_1=(a/\sigma,0): quando \sigma\to0^+, a/\sigma\to+\infty; à medida que \sigma cresce, a/\sigma diminui monotonamente. Quando \sigma atinge a\gamma/c, a/\sigma passa por c/\gamma.
  • E_2: a coordenada em x é c/\gamma, independente de \sigma; a coordenada y^*=(a-\sigma c/\gamma)/\alpha decresce linearmente com \sigma, sendo positiva apenas enquanto \sigma< a\gamma/c; quando \sigma\uparrow a\gamma/c então y^*\downarrow 0 e E_2 colide com o ponto (c/\gamma,0) no eixo x.

Passo 3

Para estudar a natureza e estabilidade local de cada equilíbrio usamos linearização: o comportamento próximo a um equilíbrio é governado pela matriz Jacobiana do campo. Definir f_1(x,y)=x(a-\sigma x-\alpha y) e f_2(x,y)=y(-c+\gamma x). A Jacobiana é a matriz das derivadas parciais
J(x,y)=\begin{pmatrix} \partial_x f_1 & \partial_y f_1\\[4pt] \partial_x f_2 & \partial_y f_2 \end{pmatrix}.
Calculemos as derivadas:
\partial_x f_1 = a-2\sigma x-\alpha y,\qquad \partial_y f_1 = -\alpha x,
\partial_x f_2 = \gamma y,\qquad \partial_y f_2 = -c+\gamma x.
Para um sistema 2\times2 com Jacobiana J, os autovalores \lambda satisfazem o polinômio característico \lambda^2 - (\operatorname{tr}J)\lambda + \det J =0. A estabilidade local depende do traço \tau=\operatorname{tr}J e do determinante \Delta=\det J:
  • Se \Delta<0: sela (instável).
  • Se \Delta>0 e \tau<0: assintoticamente estável (pode ser nó ou espiral).
  • Se \Delta>0 e \tau>0: instável (fonte).
  • Natureza nó vs espiral: olhar o discriminante D=\tau^2-4\Delta. Se D>0 autovalores reais (nó, se sinais iguais), se D<0 autovalores complexos conjugados (espiral).
Vou aplicar isso a cada equilíbrio.]

Passo 4

Avaliar J em E_0=(0,0). Substituindo x=y=0:
J(0,0)=\begin{pmatrix} a & 0\\[4pt] 0 & -c\end{pmatrix}.
Os autovalores são \lambda_1=a>0 e \lambda_2=-c<0. Assim \Delta=(a)(-c)=-ac<0. Conclusão: E_0 é um ponto de sela (saddle). Interpretação: uma direção é instável (cresce exponencialmente), a outra é estável.]

Passo 5

Avaliar J em E_1=\big(\dfrac{a}{\sigma},0\big). Substituindo x=a/\sigma,\\ y=0:
\partial_x f_1 = a-2\sigma\frac{a}{\sigma}-\alpha\cdot 0 = a-2a=-a,
\partial_y f_1 = -\alpha\frac{a}{\sigma}=-\frac{\alpha a}{\sigma},
\partial_x f_2 = \gamma\cdot 0=0,
\partial_y f_2 = -c+\gamma\frac{a}{\sigma} = -c+\frac{\gamma a}{\sigma}.
Logo
J\Big(\frac{a}{\sigma},0\Big)=\begin{pmatrix} -a & -\dfrac{\alpha a}{\sigma}\\[6pt] 0 & -c+\dfrac{\gamma a}{\sigma} \end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_1=-a<0,\qquad \lambda_2=-c+\dfrac{\gamma a}{\sigma}.
O sinal de \lambda_2 depende de \sigma:
  • Se \dfrac{\gamma a}{\sigma}>c (equivalente a \dfrac{a}{\sigma}>\dfrac{c}{\gamma} ou \sigma<\dfrac{a\gamma}{c}), então \lambda_2>0. Assim um autovalor positivo e um negativo: E_1 é sela (saddle).
  • Se \dfrac{\gamma a}{\sigma}<c ( \sigma>\dfrac{a\gamma}{c}), então \lambda_2<0. Então ambos os autovalores são negativos: E_1 é um nó assintoticamente estável (nó atrator).
  • No caso limite \sigma=\dfrac{a\gamma}{c} tem \lambda_2=0 e ocorre uma troca de estabilidade (bifurcação transcritica entre E_1 e E_2, ver mais adiante).
Portanto, sob a hipótese \sigma< a\gamma/c pedida no enunciado, E_1 é um sela.]

Passo 6

Avaliar J em E_2=\big(x^*,y^*\big)=\big(\dfrac{c}{\gamma},\dfrac{a-\sigma c/\gamma}{\alpha}\big). Usando a equação de equilíbrio a-\sigma x^*-\alpha y^*=0 simplifica-se bastante as derivadas:
\partial_x f_1\big|_{E_2}=a-2\sigma x^*-\alpha y^*=(a-\sigma x^*-\alpha y^*)-\sigma x^* = -\sigma x^* = -\sigma\frac{c}{\gamma},
\partial_y f_1\big|_{E_2}=-\alpha x^*=-\alpha\frac{c}{\gamma},
\partial_x f_2\big|_{E_2}=\gamma y^*=\gamma\cdot\frac{a-\sigma c/\gamma}{\alpha}=\frac{\gamma a-\sigma c}{\alpha},
\partial_y f_2\big|_{E_2}=-c+\gamma x^*= -c+\gamma\frac{c}{\gamma}=0.
Logo a Jacobiana é
J(E_2)=\begin{pmatrix} -\,\dfrac{\sigma c}{\gamma} & -\,\dfrac{\alpha c}{\gamma}\\[6pt] \dfrac{\gamma a-\sigma c}{\alpha} & 0 \end{pmatrix}.
Calcule traço e determinante:
\tau=\operatorname{tr}J(E_2)=-\frac{\sigma c}{\gamma}<0\quad(\text{para }\sigma>0),
\Delta=\det J(E_2)=\left(-\frac{\sigma c}{\gamma}\right)\cdot 0 -\left(-\frac{\alpha c}{\gamma}\right)\cdot\frac{\gamma a-\sigma c}{\alpha} = \frac{c}{\gamma}\,(\gamma a-\sigma c).
Assim
\Delta=\frac{c(\gamma a-\sigma c)}{\gamma}.
Sob a hipótese \sigma<\dfrac{a\gamma}{c} temos \gamma a-\sigma c>0, logo \Delta>0. Portanto \Delta>0 e \tau<0 implicam que E_2 é assintoticamente estável (um sumidouro). Pode ser nó (autovalores reais negativos) ou espiral (autovalores complexos com parte real negativa). Para decidir, consideramos o discriminante
D=\tau^2-4\Delta.
Substituindo \tau e \Delta:
D=\left(-\frac{\sigma c}{\gamma}\right)^2 - 4\cdot\frac{c(\gamma a-\sigma c)}{\gamma} =\frac{\sigma^2 c^2}{\gamma^2} - \frac{4c(\gamma a-\sigma c)}{\gamma}.
Análise qualitativa de D:
  • Quando D<0: autovalores complexos com parte real negativa \Rightarrow E_2 é um espiral assintoticamente estável (espiral decrescente).
  • Quando D>0: autovalores reais negativos \Rightarrow E_2 é um nó assintoticamente estável.
  • Quando D=0: caso degenerado (nó degenerado).
Para mostrar que existe um valor de \sigma\in(0,a\gamma/c) em que ocorre a mudança espiral \to nó (parte (c)), observe os valores de D nos extremos:
  • Em \sigma=0: \tau=0 e \Delta=\dfrac{c\gamma a}{\gamma}=ac>0. Logo D(0)=0^2-4ac=-4ac<0. Portanto para \sigma=0 temos D<0 e E_2 é espiral (mais precisamente, um espiral assintoticamente estável).
  • À medida que \sigma\uparrow a\gamma/c (pela esquerda), \gamma a-\sigma c\downarrow0 então \Delta\downarrow0 enquanto \tau\to -\dfrac{a c}{\gamma}\cdot\frac{\sigma}{a/\sigma} — o ponto é que \tau^2 tende a um valor positivo. Assim, para \sigma suficientemente próximo de a\gamma/c (por baixo), D fica positivo (porque \Delta vai a zero e \tau^2>0). Mais direto: \lim_{\sigma\to (a\gamma/c)^-} D = \left(-\frac{(a\gamma/c)\,c}{\gamma}\right)^2 - 0 = \left(-\frac{a c}{c}\right)^2 = a^2>0. Então D passa de negativo em \sigma=0 para positivo perto do limite; por continuidade de D(\sigma) existe algum \sigma\in(0,a\gamma/c) tal que D=0. Isso garante a existência do valor onde o equilíbrio interior muda de espiral para nó. (Se quiser a raiz exata, pode-se resolver a equação quadrática resultante em \sigma; mas a existência é assegurada pelo argumento anterior.)
Logo sob \sigma< a\gamma/c: E_2 é sempre assintoticamente estável; para pequenos \sigma é espiral estável, para \sigma suficientemente grande (mas ainda <a\gamma/c) é nó estável, com uma transição para um nó degenerado quando D=0.]

Passo 7

Resumo dinâmico e descrição do efeito sobre as populações quando \sigma varia de 0 até a\gamma/c (parte (d)).
Intuição biológica: x é a população que cresce logisticamente (termo a-\sigma x) e é negativamente afetada por y (coeficiente \alpha). y depende positivamente de x (taxa \gamma x) e possui morte natural c. O parâmetro \sigma representa competição dentro da espécie x (quanto maior \sigma, menor a capacidade de suporte a/\sigma).
Comportamento conforme \sigma cresce de 0 até a\gamma/c:
  • Para \sigma muito pequeno: E_1=(a/\sigma,0) está muito à direita (capacidade de x enorme). Existe E_2 no interior com x^*=c/\gamma e y^*>0. E_2 é um espiral assintoticamente estável: coexistência com oscilações amortecidas (as populações oscilam antes de se estabelecer).
  • À medida que \sigma aumenta, a componente y^* de E_2 diminui (predador em menor abundância), mas x^*=c/\gamma permanece fixo. Em algum \sigma intermediário ocorre a transição espiral \to nó: o ajuste à coexistência passa a ser monotônico (chegam ao equilíbrio sem oscilações).
  • Quando \sigma se aproxima de a\gamma/c pelo lado esquerdo, y^*\downarrow 0: o equilíbrio de coexistência se aproxima do eixo y=0 e colide com (c/\gamma,0). No limite \sigma=a\gamma/c ocorre uma troca de estabilidade (bifurcação transcrítica): para \sigma< a\gamma/c o ponto interior E_2 existe e é estável; para \sigma> a\gamma/c não há E_2 com y>0 e o equilíbrio E_1=(a/\sigma,0) torna-se estável (nó), correspondendo à extinção do predador y e sobrevivência do presídio x ao seu nível de capacidade a/\sigma.
  • Assim, biologicamente: aumentar a competição intraespecífica de x (aumentar \sigma) reduz a população de y no equilíbrio; se \sigma exceder o limiar a\gamma/c, o predador não consegue se manter e extingue-se, ficando só a população x no seu equilíbrio x=a/\sigma.

Resposta

(a) Os pontos críticos são
E_0=(0,0), E_1=\Big(\dfrac{a}{\sigma},0\Big) e E_2=\Big(\dfrac{c}{\gamma},\dfrac{a-\sigma c/\gamma}{\alpha}\Big).
A localização varia com \sigma como descrito: E_1 tem x-coordenada a/\sigma que decresce com \sigma; E_2 existe no primeiro quadrante somente se \sigma<\dfrac{a\gamma}{c} (essa condição é necessária para y^*>0); quando \sigma\uparrow a\gamma/c tem y^*\downarrow0 e E_2 colide com (c/\gamma,0).
(b) Natureza e estabilidade:
  • E_0=(0,0): sela (um autovalor positivo a e um negativo -c); instável.
  • E_1=(a/\sigma,0): autovalores -a e -c+\dfrac{\gamma a}{\sigma}. Se \sigma<\dfrac{a\gamma}{c} então -c+\dfrac{\gamma a}{\sigma}>0 e E_1 é sela; se \sigma>\dfrac{a\gamma}{c} ambos negativos e E_1 é nó assintoticamente estável. Em \sigma=\dfrac{a\gamma}{c} ocorre troca de estabilidade (bifurcação transcrítica).
  • E_2 (quando existe, i.e. \sigma<\dfrac{a\gamma}{c}): assintoticamente estável ( \Delta>0,\\ \tau<0). Para pequenos \sigma é um espiral estável ( D<0), para \sigma suficientemente grande (ainda <a\gamma/c) é um nó estável ( D>0).
(c) Existe \sigma\in(0,a\gamma/c) com D=\tau^2-4\Delta=0 (por continuidade, já que D(0)=-4ac<0 e \lim_{\sigma\to (a\gamma/c)^-}D>0), portanto há uma mudança de espiral para nó do equilíbrio interior nesse intervalo.
(d) Quando \sigma aumenta de 0 a a\gamma/c: começa-se com coexistência estável em E_2 (oscilações amortecidas se \sigma pequeno); conforme \sigma cresce, a densidade do predador y^* decresce; em um certo \sigma ocorre a transição espiral \to nó (abordagem passa a ser monotônica); ao chegar a \sigma=a\gamma/c o equilíbrio interior desaparece (predador vai à extinção) e para \sigma> a\gamma/c o sistema tende ao equilíbrio E_1=(a/\sigma,0) com y extinto.

Exercícios relacionados