Considere o seguinte sinal. Determine as séries exponencial e trigonométrica de Fourier e represente graficamente os respectivos espectros de módulo e fase:
f(t)=|t|=\left\{\begin{array}{cc}
t & 0<t<\pi \\
-t & -\pi<t<0
\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (período 2\pi\)) definida em \((- \pi,\pi)\) por
\[f(t)=|t|=\begin{cases} t, & 0<t<\pi,\\[4pt] -t, & -\pi<t<0, \end{cases}
e pede três coisas:
Determinar a série trigonométrica de Fourier (a forma usual com a_0\], \(a_n, b_n).
Determinar a série exponencial de Fourier (os coeficientes c_k).
Representar graficamente os espectros de módulo e fase (ou seja, |c_k| e \arg(c_k) como função do índice inteiro k).
Informações relevantes dadas:
A função está definida em (- \pi,\pi) e deve ser entendida como extensão 2\pi-periódica.
Observação útil já à vista: f é uma função par (pois |-t|=|t|), então esperamos que seus coeficientes senoidais b_n sejam zero e a série trigonométrica contenha apenas termos constantes e cosseno.]
Passo 2
Relembrando as fórmulas básicas (para o caso 2\pi-periódico) — isso é importante para saber o que calcular:
Explicando: produto de uma função par (f) por uma ímpar (\sin(nt)) é ímpar; integral de função ímpar num intervalo simétrico é zero. Isso simplifica muito a série: não teremos termos em \sin(nt).
Essa é a série trigonométrica de Fourier de |t| (série convergente uniformemente para t\neq m\pi, e em pontos de descontinuidade convergindo para a média lateral; aqui f é contínua em todo lugar exceto nas pontas da extensão periódica).
Como f\) é par, a parte imaginária (com \(\sin\)) cancela e obtemos (para \(k\neq0\)):
\[c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt=\frac{a_k}{2}.
Observação prática: os picos não nulos ocorrem apenas nos índices ímpares k=\pm1,\pm3,\pm5,\dots e sua amplitude decai como 1/k^2. Exemplos numéricos: |c_{\pm1}|=2/(\pi)\approx0{,}6366, |c_{\pm3}|=2/(9\pi)\approx0{,}0707, |c_{\pm5}|\approx0{,}0255, etc.
Fase do espectro:
Para k=0 a fase é 0. Para k par a amplitude é zero (fase indefinida, normalmente traça-se nada). Para k ímpar temos c_k real e negativo (c_k=-2/(\pi k^2)<0), portanto a fase é \pi (ou -\pi, dependendo da convenção) para todos os k ímpares. Assim o espectro de fase consiste em valores \pi nos índices ímpares e nada (ou indefinido) nos pares; para k=0 a fase é 0.]
Passo 10
Resumo de como desenhar os gráficos (passo a passo prático para a prova):
Para o espectro de módulo: marcar os inteiros k no eixo horizontal; no k=0 desenhar uma barra de altura \pi/2; para k=\pm1,\pm3,\pm5,\dots desenhar barras com alturas \dfrac{2}{\pi k^2} decrescentes; para k par (exceto 0) desenhar altura zero.
Para o espectro de fase: em k=0 marcar fase 0; em k=\pm1,\pm3,\dots marcar fase \pi (ou -\pi); em k par (exceto 0) não existe barra (pois módulo zero).
Importante: as barras são linhas verticais (discretas) porque a série exponencial tem coeficientes apenas em índices inteiros.