Considere o seguinte sinal. Determine as séries exponencial e trigonométrica de Fourier e represente graficamente os respectivos espectros de módulo e fase:
f(t)=|t|=\left\{\begin{array}{cc} t & 0<t<\pi \\ -t & -\pi<t<0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (período 2\pi\)) definida em \((- \pi,\pi)\) por \[f(t)=|t|=\begin{cases} t, & 0<t<\pi,\\[4pt] -t, & -\pi<t<0, \end{cases}
e pede três coisas:
  • Determinar a série trigonométrica de Fourier (a forma usual com a_0\], \(a_n, b_n).
  • Determinar a série exponencial de Fourier (os coeficientes c_k).
  • Representar graficamente os espectros de módulo e fase (ou seja, |c_k| e \arg(c_k) como função do índice inteiro k).
Informações relevantes dadas:
  • A função está definida em (- \pi,\pi) e deve ser entendida como extensão 2\pi-periódica.
  • Observação útil já à vista: f é uma função par (pois |-t|=|t|), então esperamos que seus coeficientes senoidais b_n sejam zero e a série trigonométrica contenha apenas termos constantes e cosseno.]

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas (para o caso 2\pi-periódico) — isso é importante para saber o que calcular:
  • A forma trigonométrica da série de Fourier é
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr).
As fórmulas dos coeficientes são
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.
  • A forma exponencial é
f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{ikt},
com
c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}\,dt.
Relação prática entre formas (para função real): c_0=\dfrac{a_0}{2} e, para n\ge1,
c_n=\frac{1}{2}(a_n-i b_n),\qquad c_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+i b_n).
Como f é par, já se antecipa b_n=0, logo c_n=\dfrac{a_n}{2}=c_{-n} (real).

Passo 3

Calcular a_0. Como f é par, é conveniente integrar de 0 a \pi e dobrar:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi}t\,dt=\left.\frac{t^2}{2}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}.
Portanto
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\pi.
Então o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular b_n. Pela paridade, f(t)\sin(nt) é função ímpar em [- \pi,\pi], então
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt=0.
Explicando: produto de uma função par ( f) por uma ímpar ( \sin(nt)) é ímpar; integral de função ímpar num intervalo simétrico é zero. Isso simplifica muito a série: não teremos termos em \sin(nt).

Passo 5

Calcular a_n. Usando paridade novamente:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt.
Vamos calcular a integral
I_n=\int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt
por integração por partes. Tome u=t e dv=\cos(nt)\,dt. Então du=dt e v=\dfrac{1}{n}\sin(nt). Assim
I_n=\left.\frac{t}{n}\sin(nt)\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{1}{n}\sin(nt)\,dt.
O primeiro termo é \dfrac{\pi}{n}\sin(n\pi)=0. Para a segunda integral:
\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt=\left.-\frac{1}{n}\cos(nt)\right|_{0}^{\pi}=-\frac{1}{n}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr)=-\frac{1}{n}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Portanto
I_n=0-\frac{1}{n}\cdot\left(-\frac{1}{n}\bigl((-1)^n-1\bigr)\right)=\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Logo
a_n=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}.

Passo 6

Interpretar a expressão de a_n\). Observe que \[(-1)^n-1=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par},\\[2pt] -2, & n\\ \text{ímpar}. \end{cases}
Logo
a_n=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par},\\[4pt] -\dfrac{4}{\pi n^2}, & n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í
Assim a série trigonométrica contém apenas termos em \cos(nt)\] com \(n ímpar, e esses coeficientes são negativos e decaem como 1/n^2.]

Passo 7

Escrever a série trigonométrica final explicitamente. Substituindo a_0 e a_n na fórmula:
f(t)=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nt)
com a_n dado acima. É comum escrever somando apenas sobre n ímpares n=2k+1. Assim
\boxed{\,f(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2}\,}
Essa é a série trigonométrica de Fourier de |t| (série convergente uniformemente para t\neq m\pi, e em pontos de descontinuidade convergindo para a média lateral; aqui f é contínua em todo lugar exceto nas pontas da extensão periódica).

Passo 8

Passar para a série exponencial. Use a fórmula
c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}\,dt.
Como f\) é par, a parte imaginária (com \(\sin\)) cancela e obtemos (para \(k\neq0\)): \[c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt=\frac{a_k}{2}.
Já calculamos a_k, então para k\neq0
c_k=\frac{a_k}{2}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{(-1)^k-1}{k^2}.
Para k=0,
c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{\pi}{2}.
Escrevendo explicitamente:
c_k=\begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{2}, & k=0,\\[6pt] \displaystyle 0, & k\\ \text{par}\\ (\neq0),\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{2}{\pi k^2}, & k\\ \text{ímpar}. \end{cases}í
(relembrando que para k\] ímpar \((-1)^k=-1, então \dfrac{(-1)^k-1}{\pi k^2}=-\dfrac{2}{\pi k^2}).]

Passo 9

Interpretar e preparar os espectros: módulo e fase dos coeficientes exponenciais.
  • Módulo do espectro:
|c_k|=\begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{2}, & k=0,\\[6pt] \displaystyle 0, & k\\ \text{par}\\ (\neq0),\\[6pt] \displaystyle \frac{2}{\pi k^2}, & k\\ \text{ímpar}. \end{cases}í
Observação prática: os picos não nulos ocorrem apenas nos índices ímpares k=\pm1,\pm3,\pm5,\dots e sua amplitude decai como 1/k^2. Exemplos numéricos: |c_{\pm1}|=2/(\pi)\approx0{,}6366, |c_{\pm3}|=2/(9\pi)\approx0{,}0707, |c_{\pm5}|\approx0{,}0255, etc.
  • Fase do espectro:
    Para k=0 a fase é 0. Para k par a amplitude é zero (fase indefinida, normalmente traça-se nada). Para k ímpar temos c_k real e negativo ( c_k=-2/(\pi k^2)<0), portanto a fase é \pi (ou -\pi, dependendo da convenção) para todos os k ímpares. Assim o espectro de fase consiste em valores \pi nos índices ímpares e nada (ou indefinido) nos pares; para k=0 a fase é 0.]

Passo 10

Resumo de como desenhar os gráficos (passo a passo prático para a prova):
  • Para o espectro de módulo: marcar os inteiros k no eixo horizontal; no k=0 desenhar uma barra de altura \pi/2; para k=\pm1,\pm3,\pm5,\dots desenhar barras com alturas \dfrac{2}{\pi k^2} decrescentes; para k par (exceto 0) desenhar altura zero.
  • Para o espectro de fase: em k=0 marcar fase 0; em k=\pm1,\pm3,\dots marcar fase \pi (ou -\pi); em k par (exceto 0) não existe barra (pois módulo zero).
  • Importante: as barras são linhas verticais (discretas) porque a série exponencial tem coeficientes apenas em índices inteiros.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2}\)\n \(\displaystyle c_k=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\pi}{2}, & k=0,\\[6pt] \displaystyle 0, & k\\ \text{par}\\ (\neq0),\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{2}{\pi k^2}, & k\\ \text{ímpar}, \end{cases}\quad\text{(série exponencial: }f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{ikt}\text{)}\n
\displaystyle |c_k|=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\pi}{2}, & k=0,\\[6pt] \displaystyle 0, & k\\ \text{par}\\ (\neq0),\\[6pt] \displaystyle \dfrac{2}{\pi k^2}, & k\\ \text{ímpar}, \end{cases}\qquad \arg(c_k)=\begin{cases}0,&k=0,\\[4pt]\pi,&k\\ \text{ímpar},\\[4pt]\text{indefinido (módulo 0)},&k\\ \text{par}\\ (\neq0).\end{cases}ííó]

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