Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência H(s). Considere as condições iniciais nulas.
\left(D^{2}+0,8 D+0,12\right) y(t)=0,5 x(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com condições iniciais nulas. Vou listar claramente o que é pedido e o que está dado:
  • Equação diferencial: \left(D^{2}+0,8 D+0,12\right) y(t)=0,5 x(t).
  • Condições iniciais: nulas (ou seja, y(0)=0 e y'(0)=0).
  • Perguntas: (1) obter a Transformada de Laplace da equação diferencial (relacionando Y(s) e X(s)); (2) obter a função de transferência H(s).

Passo 2

Repasse rápido e didático das propriedades da Transformada de Laplace que vou usar (não se preocupe, é simples):
  • Definição simbólica que uso: a transformada de y(t) é Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e a de x(t) é X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Regra para derivadas (essencial aqui): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explicando em palavras: a transformada de uma derivada transforma a operação diferencial no domínio de s multiplicando por s e subtraindo termos que dependem das condições iniciais. Como as condições iniciais são nulas, as subtrações desaparecem e \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s), \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s).

Passo 3

Agora aplico a Transformada de Laplace membro a membro na equação dada. Uso a linearidade e as fórmulas das derivadas. A equação é
\left(D^{2}+0,8 D+0,12\right) y(t)=0,5 x(t).
Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} aos dois lados:
\mathcal{L}\{y''(t)\}+0,8\,\mathcal{L}\{y'(t)\}+0,12\,\mathcal{L}\{y(t)\}=0,5\,\mathcal{L}\{x(t)\}.

Passo 4

Substituo as expressões das transformadas das derivadas e as condições iniciais nulas:
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s),\qquad \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s),\qquad \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
Portanto a equação transformada fica
s^{2}Y(s)+0,8\,s\,Y(s)+0,12\,Y(s)=0,5\,X(s).
Agrupando Y(s):
\bigl(s^{2}+0,8s+0,12\bigr)\,Y(s)=0,5\,X(s).

Passo 5

Isolo Y(s) para obter a relação entrada-saída no domínio de s:
Y(s)=\frac{0,5}{s^{2}+0,8s+0,12}\;X(s).
Essa é a Transformada de Laplace (a relação entre Y(s) e X(s)) pedida.

Passo 6

Defino a função de transferência como a razão entre saída e entrada no domínio de s com condições iniciais nulas:
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{0,5}{s^{2}+0,8s+0,12}.
Para facilitar a leitura das raízes do denominador, fatoro o polinômio quadrático. Calculo as raízes:
\Delta=(0,8)^{2}-4\cdot1\cdot0,12=0,64-0,48=0,16,\qquad \sqrt{\Delta}=0,4.
As raízes são
s=\frac{-0,8\pm0,4}{2}\Rightarrow s_{1}=-0,2,\quad s_{2}=-0,6.
Logo o denominador fatora como (s+0,2)(s+0,6) e a função de transferência pode ser escrita também como
H(s)=\frac{0,5}{(s+0,2)(s+0,6)}.

Resposta

Transformada de Laplace (relação Y(s) X(s)): Y(s)=\dfrac{0,5}{s^{2}+0,8s+0,12}\,X(s)
Função de transferência: H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{0,5}{s^{2}+0,8s+0,12}=\dfrac{0,5}{(s+0,2)(s+0,6)}

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