Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência
. Considere as condições iniciais nulas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com condições iniciais nulas. Vou listar claramente o que é pedido e o que está dado:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais: nulas (ou seja,
e ). - Perguntas: (1) obter a Transformada de Laplace da equação diferencial (relacionando
e ); (2) obter a função de transferência .
Passo 2
Repasse rápido e didático das propriedades da Transformada de Laplace que vou usar (não se preocupe, é simples):
- Definição simbólica que uso: a transformada de
é e a de é . - Linearidade:
. - Regra para derivadas (essencial aqui):
Explicando em palavras: a transformada de uma derivada transforma a operação diferencial no domínio de
multiplicando por
e subtraindo termos que dependem das condições iniciais. Como as condições iniciais são nulas, as subtrações desaparecem e
,
.
Passo 3
Agora aplico a Transformada de Laplace membro a membro na equação dada. Uso a linearidade e as fórmulas das derivadas. A equação é
Aplicando
aos dois lados:
Passo 4
Substituo as expressões das transformadas das derivadas e as condições iniciais nulas:
Portanto a equação transformada fica
Agrupando
:
Passo 5
Isolo
para obter a relação entrada-saída no domínio de
:
Essa é a Transformada de Laplace (a relação entre
e
) pedida.
Passo 6
Defino a função de transferência como a razão entre saída e entrada no domínio de
com condições iniciais nulas:
Para facilitar a leitura das raízes do denominador, fatoro o polinômio quadrático. Calculo as raízes:
As raízes são
Logo o denominador fatora como
e a função de transferência pode ser escrita também como
Resposta
Transformada de Laplace (relação
–
):
Função de transferência: