Encontre a transformada de Laplace das funções:
f(t)=1 se 0 <= t<1 e f(t)=t^2-2 t+2 se t >= 1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)=1 para 0<= t<1 e
f(t)=t^2-2t+2 para t>=1,
e pede a transformada de Laplace
F(s)=Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-stdt.

Passo 2

Escrevemos a integral em duas partes, de 0 a 1 e de 1 a infty:
F(s) =integral0^11cdot e^-stdt +integral1^infty(t^2-2t+2)e^-stdt

Passo 3

Calcular a primeira integral:
integral0^1e^-stdt =l[-tfrac1se^-str]0^1 =1-e^-ss

Passo 4

Na segunda integral, note que
t^2-2t+2=(t-1)^2+1
Então
integral1^infty(t^2-2t+2)e^-stdt =integral1^infty(t-1)^2e^-stdt +integral1^inftye^-stdt
Para a segunda parte:
integral1^inftye^-stdt =e^-ss
Para a primeira, faça u=t-1:
integral1^infty(t-1)^2e^-stdt =e^-sintegral0^inftyu^2e^-sudu =e^-scdot2s^3

Passo 5

Somando tudo:
F(s) =1-e^-ss +e^-ss +2e^-ss^3 =1s+2e^-ss^3

Resposta

boxedF(s)=1s+2,e^-ss^3

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