Encontre a transformada de Laplace inversa da função F(s)=\frac{8 s}{s^{2}-5 s+6}-\frac{2}{s^{4}}. \mathrm{R}: \frac{-t^{3}}{3}-16 e^{2 t}+24 e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{8 s}{s^{2}-5 s+6}-\frac{2}{s^{4}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad F(s)=\frac{8 s}{s^{2}-5 s+6}-\frac{2}{s^{4}}.
\text{(ii)}\quad \text{Queremos } f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Usamos a linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas. Portanto vamos tratar os dois termos separadamente:
F(s)=\underbrace{\frac{8 s}{s^{2}-5 s+6}}_{T_1(s)}\;-\;\underbrace{\frac{2}{s^{4}}}_{T_2(s)}.
Vamos calcular \mathcal{L}^{-1}\{T_1(s)\} e \mathcal{L}^{-1}\{T_2(s)\} e somar os resultados.

Passo 3

Para \displaystyle T_1(s)=\frac{8 s}{s^{2}-5 s+6}\) fatoramos o denominador: \[s^{2}-5s+6=(s-2)(s-3).
Fazemos frações parciais assumindo constantes A e B:
\frac{8s}{(s-2)(s-3)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-3}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s-3) obtemos
8s=A(s-3)+B(s-2).
Expandindo o lado direito:
8s=(A+B)s+(-3A-2B).
Igualando coeficientes do polinômio em s obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=8,\\[4pt] -3A-2B=0. \end{cases}
Da primeira equação (B=8-A]. Substituindo na segunda:
-3A-2(8-A)=0\implies -3A-16+2A=0\implies -A-16=0\implies A=-16.
Então
B=8-(-16)=24.
Portanto
\frac{8s}{s^{2}-5s+6}=\frac{-16}{s-2}+\frac{24}{s-3}.]

Passo 4

Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas.
Fórmulas que usaremos (explicadas):
  • A transformada inversa de \displaystyle \frac{1}{s-a} é e^{at}. Ou seja,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
onde a é constante e t é a variável temporal (o que aparece na função final).
  • A transformada inversa de \displaystyle \frac{1}{s^{n}} é \displaystyle \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}. Ou seja,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{n}}\right\}=\frac{t^{n-1}}{(n-1)!},
para inteiro n\ge1. Aqui (n-1)! é o fatorial de n-1.
Aplicando essas fórmulas aos termos que temos:
Para T_1(s)=\dfrac{-16}{s-2}+\dfrac{24}{s-3} temos
\mathcal{L}^{-1}\{T_1(s)\}=-16e^{2t}+24e^{3t},
pois \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\}=e^{2t} e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-3)\}=e^{3t}.
Para T_2(s)=\dfrac{2}{s^{4}} usamos a fórmula com n=4:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{4}}\right\}=\frac{t^{3}}{3!}=\frac{t^{3}}{6}.
Como no nosso T_2(s) há o fator -2 (lembre que F(s) tem -\dfrac{2}{s^4}), temos
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{2}{s^{4}}\right\}=-2\cdot\frac{t^{3}}{6}=-\frac{t^{3}}{3}.

Passo 5

Somando as duas partes (linha por linha, pela linearidade) obtemos a função no domínio do tempo:
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=-\frac{t^{3}}{3}-16e^{2t}+24e^{3t}.

Resposta

-\dfrac{t^{3}}{3}-16e^{2t}+24e^{3t}

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