(a) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial (PVI)
certamente possui solução (e a mesma é única). R: (
)
(b) Determine a solução do PVI dado. R:
(b) Determine a solução do PVI dado. R:
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial (PVI) composto por uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais em
. Especificamente, pede duas coisas:
- (a) Determinar o maior intervalo em que a solução do PVI certamente existe e é única.
- (b) Determinar explicitamente a solução do PVI.
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro passo teórico: vamos escrever a equação na forma padrão para aplicar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem. Dividindo a equação por
(válido quando
) obtemos
onde
O teorema de existência e unicidade diz: se
e
são contínuas num intervalo que contém o ponto inicial
(aqui
), então existe uma única solução definida nesse intervalo que satisfaz as condições iniciais. Portanto, para aplicar o teorema precisamos identificar os pontos onde
e
são contínuas.
Passo 3
Analisando
e
, vemos que ambas são contínuas para todo
. Assim, quaisquer intervalos que não contenham
são válidos. Como o ponto inicial é
, o maior intervalo aberto que contém
e em que
e
são contínuas é
Logo, pelo teorema de existência e unicidade, o PVI possui solução única em
. Observação: no ponto
os coeficientes se tornam singulares, então não podemos garantir existência/uniquidade atravessando
.
Passo 4
Agora vamos resolver a equação diferencial explicitamente. A equação
é uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equidimensional), que costuma ser resolvida por tentativa de solução do tipo
onde
é uma constante a determinar. Essa tentativa é natural porque derivadas de potências de
geram potências do mesmo tipo com fatores polinomiais em
.
Passo 5
Calculemos
e
para
:
Substituindo na equação original:
Fatorando
(e lembrando
para
) obtemos a equação característica para
:
Simplificando:
Portanto, temos uma raiz dupla
.
Passo 6
Quando a equação de Euler–Cauchy tem uma raiz dupla
, as soluções fundamentais são
Uma forma de ver por que aparece o fator
é considerar o limite
ou usar o método de redução de ordem. Aqui
, logo as soluções fundamentais são
Passo 7
A solução geral da equação homogênea é, portanto,
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais
e
.
Passo 8
Calcule a derivada
. Usando a regra do produto na segunda parcela:
Assim,
Aplique as condições iniciais em
. Como
, temos:
E
Substituindo
na segunda equação obtemos
, logo
.
Passo 9
Com
e
, a solução particular que satisfaz o PVI é
Podemos checar rapidamente que essa função é definida e diferenciável em
, compatível com o intervalo de existência determinado no item (a).
Resposta
(a)
(b)
(b)