Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s^{2}\,(s^{2}+1)}.
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e uso da tabela de transformadas inversas básicas.

Passo 2

Procuramos uma expressão da forma
\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}.
Multiplicando por s^{2}(s^{2}+1) e reunindo termos, obtemos
1=(A+C)\,s^{3}+(B+D)\,s^{2}+A\,s+B.

Passo 3

Comparando coeficientes de cada potência de s, temos o sistema
A+C=0, \quad B+D=0, \quad A=0, \quad B=1.
Daí segue A=0, B=1, C=0 e D=-1.

Passo 4

Substituindo esses valores na decomposição, fica
F(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo, usamos
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}}\bigr\}(t)=t,
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+1}\bigr\}(t)=\sin t.
Logo a solução é
f(t)=t-\sin t.

Resposta

f(t)=t-\sin t

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