Questão 3.
f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } \quad 0 \leq t \leq a \\\\ 0, & \text { se } \quad t>a\end{cases}
Expresse f em termos de funções escadas unitárias para mostrar que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-a s}}{s} .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases} 1,&0\le t\le a,\\\\ 0,&t>a, \end{cases}
e pede para escrevê-la com funções escada unitárias u(t) e obter
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-as}}{s}.
O conteúdo é representação de funções por escalas e cálculo de transformada de Laplace usando linearidade e deslocamento no eixo-tempo.

Passo 2

Definimos a função escada unitária
u(t)= \begin{cases} 1,&t\ge0,\\\\ 0,&t<0. \end{cases}
Ela “liga” a função em t=0.

Passo 3

Para que f(t)=1 de t=0 até t=a e zero depois, começamos com u(t) ligado em zero e subtraímos um degrau que desliga em t=a. Assim,
f(t)=u(t)-u(t-a).

Passo 4

Recordamos duas propriedades básicas da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}\{u(t-a)\}=e^{-as}\,\frac{1}{s}.
A segunda vem do teorema do deslocamento no tempo.

Passo 5

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{u(t)\}-\mathcal{L}\{u(t-a)\} =\frac{1}{s}-\frac{e^{-as}}{s} =\frac{1-e^{-as}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-as}}{s}.

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